O sistema de ponto flutuante F(2,10,-15,15) pode ser representado em um computador da seguinte forma, ocupando ao todo 16 bits:
01 02 3 4 5 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
* 1 * * * * * * * * * * * * * *
onde
  • Posição 1: sinal da mantissa (0=+ ou 1=-)
  • Posições 2 até 11: mantissa (10 dígitos)
  • Posição 12: sinal do expoente (0=+ ou 1=-)
  • Posição 13 até 16: representação do expoente
    Por exemplo, os números (23)10=(0,1011100000)2 times 2^5 (lembrete: (5)10=(101)2) e (-7,125)10= -(0,1110010000)2 times 2^3 (lembrete: (3)10=(11)2) possuem, respectivamente, a seguinte representação:
0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
e
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
a) Determine o maior e o menor número decimal (em termos absolutos) que podem ser representados nesse sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de ponto flutuante chamado F(2,10,-15,15) que usa 16 bits para representar números. A gente precisa descobrir qual é o maior e o menor número decimal (em termos absolutos) que dá para representar nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses bits estão distribuídos para o sinal, mantissa e expoente, e como isso afeta o valor final dos números.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o maior número que podemos representar nesse sistema. Para isso, a gente quer que o valor da mantissa seja o maior possível e o expoente também seja o maior.
  • Mantissa máxima: Como temos 10 bits para a mantissa (posições 2 a 11), o maior valor que dá para representar é quando todos esses bits são 1. Em binário, isso é 0,1111111111. Em decimal, isso é igual a 1 - 2^-10 = 0,9990234375.
  • Expoente máximo: O expoente pode ir até +15 (posição 12 é o sinal e as posições 13 a 16 dão a magnitude). Então, o expoente máximo é 15.
Agora, aplicando a fórmula do ponto flutuante:
Valor = Mantissa times 2^Expoente
Substituindo os valores máximos:
Maior Valor = 0,9990234375 times 2^15
Calculando 2^15 = 32768, então:
Maior Valor = 0,9990234375 times 32768 approx 32740,9921875

Passo 3

Agora, vamos encontrar o menor número positivo que dá para representar (excluindo zero). Para isso, queremos que a mantissa seja a menor possível diferente de zero e o expoente também seja o menor.
  • Mantissa mínima: A menor mantissa positiva é quando apenas o último bit é 1, ou seja, 0,0000000001 em binário. Em decimal, isso é 2^-10 = 0,0009765625.
  • Expoente mínimo: O menor expoente é -15.
Aplicando a fórmula do ponto flutuante:
Menor Valor = 0,0009765625 times 2^-15
Calculando 2^-15 = 132768 approx 0,000030517578125, então:
Menor Valor = 0,0009765625 times 0,000030517578125 approx 0,0000000298

Resposta

O maior número decimal que pode ser representado é aproximadamente 32740,9921875 e o menor número positivo (em termos absolutos) que pode ser representado é aproximadamente 0,0000000298.

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