O sistema de ponto flutuante
pode ser representado em um computador da seguinte forma, ocupando ao todo 16 bits:
01 | 02 | 3 | 4 | 5 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
* | 1 | * | * | * | * | * | * | * | * | * | * | * | * | * | * |
onde
- Posição 1: sinal da mantissa
ou - Posições 2 até 11: mantissa (10 dígitos)
- Posição 12: sinal do expoente
ou - Posição 13 até 16: representação do expoente
Por exemplo, os números(lembrete: e (lembrete: possuem, respectivamente, a seguinte representação:
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
---|
e
1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
---|
a) Determine o maior e o menor número decimal (em termos absolutos) que podem ser representados nesse sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de ponto flutuante chamado
que usa 16 bits para representar números. A gente precisa descobrir qual é o maior e o menor número decimal (em termos absolutos) que dá para representar nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses bits estão distribuídos para o sinal, mantissa e expoente, e como isso afeta o valor final dos números.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o maior número que podemos representar nesse sistema. Para isso, a gente quer que o valor da mantissa seja o maior possível e o expoente também seja o maior.
-
Mantissa máxima: Como temos 10 bits para a mantissa (posições 2 a 11), o maior valor que dá para representar é quando todos esses bits são 1. Em binário, isso é
. Em decimal, isso é igual a . -
Expoente máximo: O expoente pode ir até +15 (posição 12 é o sinal e as posições 13 a 16 dão a magnitude). Então, o expoente máximo é
.
Agora, aplicando a fórmula do ponto flutuante:
Substituindo os valores máximos:
Calculando
, então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o menor número positivo que dá para representar (excluindo zero). Para isso, queremos que a mantissa seja a menor possível diferente de zero e o expoente também seja o menor.
-
Mantissa mínima: A menor mantissa positiva é quando apenas o último bit é 1, ou seja,
em binário. Em decimal, isso é . -
Expoente mínimo: O menor expoente é
.
Aplicando a fórmula do ponto flutuante:
Calculando
, então:
Resposta
O maior número decimal que pode ser representado é aproximadamente 32740,9921875 e o menor número positivo (em termos absolutos) que pode ser representado é aproximadamente 0,0000000298.