x -7 -5 -1 0 2 5 6
y 15 12 5 2 0 -5 -9
(a) Use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar os coeficientes m e b da função y=m x+b que melhor se ajusta aos dados. (b) Use a Eq. (5.5) para determinar o erro global.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a melhor reta que se ajusta aos pontos dados usando regressão linear por mínimos quadrados. Isso basicamente significa que queremos encontrar uma reta na forma que minimize a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas como , , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos listar os valores de |c|c| hline x & y hline -7 & 15 -5 & 12 -1 & 5 0 & 2 2 & 0 5 & -5 6 & -9 hline e :
Vamos calcular as somas necessárias:
  • Número de pontos,

Passo 3

Agora, vamos usar as fórmulas da regressão linear para encontrar os coeficientes m = N Sigma xy - Sigma x Sigma yN Sigma x^2 - (Sigma x)^2 e b = Sigma y - m Sigma xN :
m = 7 times (-249) - 0 times 207 times 140 - 0^2 = -1743980 approx -1.78
b = 20 - (-1.78) times 07 = 207 approx 2.86
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 4

Com os valores de y = -1.78x + 2.86 e calculados, podemos escrever a equação da reta de regressão:
Essa é a reta que melhor se ajusta aos dados fornecidos segundo o método dos mínimos quadrados.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro global usando a Eq. (5.5). Geralmente, isso se refere à soma dos quadrados dos resíduos, ou seja:
Erro Global = Sigma (yi - (m xi + b))^2
Vamos calcular esse erro para cada ponto:
  1. Para yprevisto = -1.78 times (-7) + 2.86 approx 15.32 :
    Erro = 15 - 15.32 approx -0.32 Rightarrow (-0.32)^2 approx 0.10
    yprevisto = -1.78 times (-5) + 2.86 approx 11.76
  2. Para Erro = 12 - 11.76 approx 0.24 Rightarrow (0.24)^2 approx 0.06 :
    yprevisto = -1.78 times (-1) + 2.86 approx 4.64
    Erro = 5 - 4.64 approx 0.36 Rightarrow (0.36)^2 approx 0.13
  3. Para yprevisto = -1.78 times 0 + 2.86 = 2.86 :
    Erro = 2 - 2.86 approx -0.86 Rightarrow (-0.86)^2 approx 0.74
    yprevisto = -1.78 times 2 + 2.86 approx -0.70
  4. Para Erro = 0 - (-0.70) approx 0.70 Rightarrow (0.70)^2 approx 0.49 :
    yprevisto = -1.78 times 5 + 2.86 approx -6.04
    Erro = -5 - (-6.04) approx 1.04 Rightarrow (1.04)^2 approx 1.09
  5. Para yprevisto = -1.78 times 6 + 2.86 approx -7.82 :
    Erro = -9 - (-7.82) approx -1.18 Rightarrow (-1.18)^2 approx 1.39
    0.10 + 0.06 + 0.13 + 0.74 + 0.49 + 1.09 + 1.39 approx 3.99
  6. Para :
  7. Para :
Agora, somamos todos esses erros quadrados:

Resposta

A equação da reta de regressão é e o erro global é aproximadamente 3.99.

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