São conhecidos os seguintes dados de tensão e corrente:
Corrente (A) Tensão (v)
5.2 2
10.7 4
19.3 7
27.5 76
32 100
40 155
44 193
O comportamento do circuito elétrico cujos dados estão dispostos na tabela fornecida é tal que a lei de ohm é válida apenas para um valor de corrente menor ou igual a 20 A . Acima de 20 A , é sabido que o circuito passa a ter um comportamento descrito pela seguinte expressão: v(i)=3.5 cdot a cdot raizi+2.2 cdot b cdot i-4.3 cdot c a, b, c são constantes. a) Considerando apenas a região em que é válida a lei de Ohm, estime o valor da resistência R. b) Estime os valores de a, b e c utilizando o ajuste de curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou fala sobre circuitos elétricos e a famosa Lei de Ohm. A gente precisa resolver duas partes: primeiro, estimar a resistência usando apenas os dados onde a Lei de Ohm é válida (ou seja, para correntes até 20 A). Depois, para as correntes acima de 20 A, precisamos encontrar os valores das constantes , e que descrevem o comportamento do circuito nessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a), que pede para estimar a resistência usando a Lei de Ohm. A Lei de Ohm diz que , onde:
  • é a tensão (em volts),
  • é a corrente (em amperes),
  • é a resistência (em ohms).
Para encontrar , podemos rearranjar a fórmula: .

Passo 3

Agora, vamos olhar para os dados fornecidos e escolher apenas as linhas onde a corrente é menor ou igual a 20 A. Olhando para a tabela:
Corrente (A) Tensão
5.2 2
10.7 4
19.3 7
Esses são os dados que usaremos para calcular .

Passo 4

Vamos calcular R = 25.2 approx 0.3846 , Omega para cada uma dessas linhas utilizando a fórmula R = 410.7 approx 0.3738 , Omega :
  1. Para R = 719.3 approx 0.3627 , Omega A e V:
  2. Para A e V:
  3. Para A e V:

Passo 5

Agora, para ter uma estimativa mais precisa da resistência Rmédia = 0.3846 + 0.3738 + 0.36273 approx 1.12113 approx 0.3737 , Omega , vamos tirar a média desses valores:
é
Então, a resistência é aproximadamente .

Passo 6

Agora vamos para a parte b) do exercício, onde precisamos encontrar os valores das constantes v(i) = 3.5 cdot a cdot raizi + 2.2 cdot b cdot i - 4.3 cdot c , e na equação:
Aqui, é a corrente, e é a tensão correspondente. Para encontrar , e , vamos usar os dados onde a corrente é maior que 20 A, pois é nessa região que a Lei de Ohm não se aplica mais.

Passo 7

Vamos usar os seguintes dados da tabela para A:
Corrente (A) Tensão
27.5 76
32 100
40 155
44 193
Vamos substituir esses valores na equação para obter um sistema de equações.

Passo 8

Substituindo os valores na equação 76 = 3.5a cdot raiz27.5 + 2.2b cdot 27.5 - 4.3c :
  1. Para 100 = 3.5a cdot raiz32 + 2.2b cdot 32 - 4.3c A e 155 = 3.5a cdot raiz40 + 2.2b cdot 40 - 4.3c V:
    193 = 3.5a cdot raiz44 + 2.2b cdot 44 - 4.3c
  2. Para A e V:
  3. Para A e V:
  4. Para A e V:

Passo 9

Vamos calcular as raízes quadradas:
raiz27.5 approx 5.244, raiz32 approx 5.657, raiz40 approx 6.325, raiz44 approx 6.633
Substituindo esses valores nas equações:

Passo 10

Vamos simplificar as equações:

Passo 11

Agora temos um sistema de quatro equações com três incógnitas. Podemos resolver esse sistema usando métodos de eliminação ou substituição. Para simplificar, vamos usar apenas três equações para resolver as três incógnitas.
Vamos usar as primeiras três equações:
  1. → Equação (1)
  2. → Equação (2)
  3. → Equação (3)

Passo 12

Vamos eliminar 100 - 76 = (19.8a - 18.294a) + (70.4b - 60.5b) subtraindo Equação (1) da Equação (2), e Equação (2) da Equação (3):
  • Equação (2) - Equação (1):
    24 = 1.506a + 9.9b → 1.506a + 9.9b = 24 → Equação (4)
    155 - 100 = (22.138a - 19.8a) + (88b - 70.4b) çã
  • Equação (3) - Equação (2):
    55 = 2.338a + 17.6b → 2.338a + 17.6b = 55 → Equação (5)
    çã

Passo 13

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
  1. 1.506a = 24 - 9.9b → a = 24 - 9.9b1.506 → Equação (4)
  2. → Equação (5)
Vamos resolver isso usando o método da substituição.
Primeiro, da Equação (4), isolamos :

Passo 14

Substituímos 2.338 cdot ( 24 - 9.9b1.506 ) + 17.6b = 55 na Equação (5):
2.338 cdot 24 - 9.9b1.506 = 2.3381.506 cdot (24 - 9.9b) approx 1.551 cdot (24 - 9.9b) approx 37.224 - 15.373b
Vamos calcular isso passo a passo:
37.224 - 15.373b + 17.6b = 55
Então:
37.224 + 2.227b = 55
2.227b = 55 - 37.224
2.227b = 17.776 → b approx 17.7762.227 approx 7.989

Passo 15

Agora que temos 1.506a + 9.9 cdot 7.989 = 24 , voltamos à Equação (4) para encontrar 1.506a + 79.011 approx 24 :
1.506a approx 24 - 79.011 approx -55.011
a approx -55.0111.506 approx -36.499

Passo 16

Agora, com 76 = 18.294 cdot (-36.499) + 60.5 cdot 7.989 - 4.3c e 76 = -666.012 + 482.899 - 4.3c , vamos encontrar 76 = -183.113 - 4.3c usando a Equação (1):
4.3c = -183.113 - 76 approx -259.113
Calculando:
c approx -259.1134.3 approx -60.231

Resposta

a) A resistência a approx -36.499, b approx 7.989, c approx -60.231 estimada é aproximadamente .
b) As constantes estimadas são:

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