Sejam o erro absoluto e o erro relativo. Mostre que o erro relativo na representação de um número em um sistema , com arredondamento, é limitado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o erro relativo na representação de um número num sistema de ponto flutuante com arredondamento é limitado por . A matéria envolvida aqui é a representação numérica em sistemas de ponto flutuante, especificamente tratando de erros absolutos e relativos. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam esses erros e como o arredondamento afeta a precisão dos números representados.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os erros que estamos lidando. O erro absoluto, , é a diferença entre o valor exato e o valor aproximado que temos no sistema:
Já o erro relativo, , é esse erro absoluto dividido pelo valor exato:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o sistema . Esse é um sistema de ponto flutuante com base (por exemplo, 10 para decimal), dígitos de precisão (número de dígitos significativos), e intervalos de expoentes de a . O arredondamento acontece porque, ao representar um número, só temos dígitos disponíveis, então precisamos aproximar o número real para caber nesse formato.
Passo 4
No arredondamento, a diferença máxima que podemos ter entre o número real e o aproximado é metade da menor unidade na última posição significativa. Em termos matemáticos, isso significa que:
Essa expressão representa o erro absoluto máximo que podemos ter ao arredondar o número.
Passo 5
Agora, vamos relacionar isso com o erro relativo. Sabemos que:
Usando a desigualdade do erro absoluto:
Assumindo que é aproximadamente igual a e que estamos normalizando os números no sistema de ponto flutuante, podemos simplificar para:
Assim, mostramos que o erro relativo é limitado por essa expressão.
Resposta
Portanto, o erro relativo na representação de um número num sistema com arredondamento satisfaz: