Sejam o erro absoluto e o erro relativo. Mostre que o erro relativo na representação de um número em um sistema , com arredondamento, é limitado por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o erro relativo na representação de um número num sistema de ponto flutuante com arredondamento é limitado por . A matéria envolvida aqui é a representação numérica em sistemas de ponto flutuante, especificamente tratando de erros absolutos e relativos. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam esses erros e como o arredondamento afeta a precisão dos números representados.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os erros que estamos lidando. O erro absoluto, , é a diferença entre o valor exato e o valor aproximado que temos no sistema:
Já o erro relativo, , é esse erro absoluto dividido pelo valor exato:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o sistema . Esse é um sistema de ponto flutuante com base (por exemplo, 10 para decimal), dígitos de precisão (número de dígitos significativos), e intervalos de expoentes de a . O arredondamento acontece porque, ao representar um número, só temos dígitos disponíveis, então precisamos aproximar o número real para caber nesse formato.

Passo 4

No arredondamento, a diferença máxima que podemos ter entre o número real e o aproximado é metade da menor unidade na última posição significativa. Em termos matemáticos, isso significa que:
Essa expressão representa o erro absoluto máximo que podemos ter ao arredondar o número.

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com o erro relativo. Sabemos que:
Usando a desigualdade do erro absoluto:
Assumindo que é aproximadamente igual a e que estamos normalizando os números no sistema de ponto flutuante, podemos simplificar para:
Assim, mostramos que o erro relativo é limitado por essa expressão.

Resposta

Portanto, o erro relativo na representação de um número num sistema com arredondamento satisfaz:

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O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde, é o número de habitantes, é o tempo (anos), e são constantes Temse que: e ; A condição inicial é: . Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
c) Método de RK de ordem 4, com ;
O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde, é o número de habitantes, é o tempo (anos), e são constantes Temse que: e ; A condição inicial é: . Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
b) Método de RK de ordem 2 (Heun), com ;
São conhecidos os seguintes dados de tensão e corrente:
Corrente (A) Tensão
5.2 2
10.7 4
19.3 7
27.5 76
32 100
40 155
44 193
O comportamento do circuito elétrico cujos dados estão dispostos na tabela fornecida é tal que a lei de ohm é válida apenas para um valor de corrente menor ou igual a 20 A . Acima de 20 A , é sabido que o circuito passa a ter um comportamento descrito pela seguinte expressão: são constantes. a) Considerando apenas a região em que é válida a lei de Ohm, estime o valor da resistência . b) Estime os valores de e utilizando o ajuste de curva.
-7 -5 -1 0 2 5 6
15 12 5 2 0 -5 -9
(a) Use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar os coeficientes e da função que melhor se ajusta aos dados. (b) Use a Eq. (5.5) para determinar o erro global.