Sejam EAx=x-barx o erro absoluto e ERx=EAx / barx o erro relativo. Mostre que o erro relativo na representação de um número em um sistema F(b, n, e1, e2), com arredondamento, é limitado por
|ERx|<12 times b^1-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o erro relativo na representação de um número num sistema de ponto flutuante com arredondamento é limitado por . A matéria envolvida aqui é a representação numérica em sistemas de ponto flutuante, especificamente tratando de erros absolutos e relativos. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam esses erros e como o arredondamento afeta a precisão dos números representados.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os erros que estamos lidando. O erro absoluto, EAx = x - barx , é a diferença entre o valor exato ERx = EAxbarx = x - barxbarx e o valor aproximado que temos no sistema:
Já o erro relativo, , é esse erro absoluto dividido pelo valor exato:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o sistema . Esse é um sistema de ponto flutuante com base (por exemplo, 10 para decimal), dígitos de precisão (número de dígitos significativos), e intervalos de expoentes de a . O arredondamento acontece porque, ao representar um número, só temos dígitos disponíveis, então precisamos aproximar o número real para caber nesse formato.

Passo 4

No arredondamento, a diferença máxima que podemos ter entre o número real |x - barx| <= 12 times b^1 - n e o aproximado é metade da menor unidade na última posição significativa. Em termos matemáticos, isso significa que:
Essa expressão representa o erro absoluto máximo que podemos ter ao arredondar o número.

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com o erro relativo. Sabemos que:
|ERx| = |x - barxbarx|
Usando a desigualdade do erro absoluto:
|ERx| <= 12 times b^1 - n|barx|
Assumindo que |ERx| < 12 times b^1 - n é aproximadamente igual a e que estamos normalizando os números no sistema de ponto flutuante, podemos simplificar para:
Assim, mostramos que o erro relativo é limitado por essa expressão.

Resposta

Portanto, o erro relativo na representação de um número num sistema |ERx| < 12 times b^1-n com arredondamento satisfaz:

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