Dados os valores: /ano, , e . Use o método da secante modificado para resolver para a concentração de estado estacionário. Empregue um valor inicial de e . Realize três iterações e determine o erro relativo depois da terceira iteração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a concentração de estado estacionário usando o método da secante modificado. Para isso, vamos utilizar os valores fornecidos:
  • Volume
  • Vazão
  • Entrada de poluente
  • Constante
  • Valor inicial
  • Disturbio
Vamos precisar aplicar o método da secante modificado para encontrar de estado estacionário realizando três iterações e calcular o erro relativo na terceira iteração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa concentração de estado estacionário. Nesse caso, a concentração não está mais mudando com o tempo, ou seja, a derivada .
Começamos com a equação fornecida:
Como estamos no estado estacionário, . Então, a equação fica:
Vamos reorganizar isso para formar uma função que queremos igualar a zero:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da secante modificado. Esse método é uma forma de encontrar raízes de equações não lineares como . A ideia é aproximar a derivada de usando um pequeno incremento .
A fórmula do método da secante modificado é:
Onde:
  • é a estimativa atual
  • é a estimativa anterior
  • é o disturbio fornecido
Vamos começar com . Para a primeira iteração, precisamos de uma segunda estimativa. Podemos usar .

Passo 4

Primeira Iteração ( a )
Calculamos e :
Agora, aplicamos a fórmula da secante modificada:

Passo 5

Segunda Iteração ( a )
Agora, usamos e .
Calculamos :
Surpreendentemente, chegou a zero, o que significa que encontramos a raiz exata!

Passo 6

Terceira Iteração ( a )
Como já encontramos , não há necessidade de continuar as iterações. O método da secante modificada convergiu na segunda iteração.

Resposta

Após duas iterações, a concentração de estado estacionário é com erro relativo praticamente zero, indicando que atingimos a solução exata.

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