V d cd t=W-Q c-k V raizc
Dados os valores: V=1 times 10^6 m^3, Q=1 times 10^5 m^3 /ano, W=1 times 10^6 g / ano, e k=0.25 m^0.5 / g^0.5 / ano. Use o método da secante modificado para resolver para a concentração de estado estacionário. Empregue um valor inicial de c=4 g / m^3 e de. Realize três iterações e determine o erro relativo depois da terceira iteração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a concentração de estado estacionário usando o método da secante modificado. Para isso, vamos utilizar os valores fornecidos:
  • Volume
  • Vazão
  • Entrada de poluente
  • Constante
  • Valor inicial
  • Disturbio
Vamos precisar aplicar o método da secante modificado para encontrar de estado estacionário realizando três iterações e calcular o erro relativo na terceira iteração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa concentração de estado estacionário. Nesse caso, a concentração V dcdt = W - Qc - kVraizc não está mais mudando com o tempo, ou seja, a derivada 0 = W - Qc - kVraizc .
Começamos com a equação fornecida:
f(c) = W - Qc - kVraizc = 0
Como estamos no estado estacionário, . Então, a equação fica:
Vamos reorganizar isso para formar uma função que queremos igualar a zero:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da secante modificado. Esse método é uma forma de encontrar raízes de equações não lineares como cn+1 = cn - f(cn) cdot cn - cn-1f(cn) - f(cn-1) + de. A ideia é aproximar a derivada de usando um pequeno incremento .
A fórmula do método da secante modificado é:
Onde:
  • é a estimativa atual
  • é a estimativa anterior
  • é o disturbio fornecido
Vamos começar com . Para a primeira iteração, precisamos de uma segunda estimativa. Podemos usar .

Passo 4

Primeira Iteração ( f(c0) = W - Qc0 - kVraizc0 = 1 times 10^6 - 1 times 10^5 times 4 - 0.25 times 1 times 10^6 times raiz4 a f(c0) = 1 times 10^6 - 4 times 10^5 - 0.25 times 1 times 10^6 times 2 )
Calculamos f(c0) = 1 times 10^6 - 4 times 10^5 - 5 times 10^5 = 1 times 10^6 - 9 times 10^5 = 1 times 10^5 e f(c-1) = W - Qc-1 - kVraizc-1 = 1 times 10^6 - 1 times 10^5 times 4.5 - 0.25 times 1 times 10^6 times raiz4.5 :
f(c-1) = 1 times 10^6 - 4.5 times 10^5 - 0.25 times 1 times 10^6 times 2.1213
f(c-1) = 1 times 10^6 - 4.5 times 10^5 - 5.3033 times 10^5 approx 1 times 10^6 - 9.8033 times 10^5 = 1.967 times 10^4
c1 = c0 - f(c0) cdot (c0 - c-1)f(c0) - f(c-1) + de
c1 = 4 - 1 times 10^5 cdot (4 - 4.5)1 times 10^5 - 1.967 times 10^4 + 0.5 times 4
c1 = 4 - 1 times 10^5 cdot (-0.5)8.033 times 10^4 + 2 approx 4 - -5 times 10^48.033 times 10^4 approx 4 + 0.622 approx 4.622 , g/m^3
Agora, aplicamos a fórmula da secante modificada:

Passo 5

Segunda Iteração ( f(c1) = W - Qc1 - kVraizc1 = 1 times 10^6 - 1 times 10^5 times 4.622 - 0.25 times 1 times 10^6 times raiz4.622 a f(c1) = 1 times 10^6 - 4.622 times 10^5 - 0.25 times 1 times 10^6 times 2.149 approx 1 times 10^6 - 4.622 times 10^5 - 5.373 times 10^5 approx 1 times 10^6 - 1.0 times 10^6 = 0 )
Agora, usamos e .
Calculamos :
Surpreendentemente, chegou a zero, o que significa que encontramos a raiz exata!

Passo 6

Terceira Iteração ( a )
Como já encontramos , não há necessidade de continuar as iterações. O método da secante modificada convergiu na segunda iteração.

Resposta

Após duas iterações, a concentração de estado estacionário é com erro relativo praticamente zero, indicando que atingimos a solução exata.

Exercícios relacionados