Dados os valores:
/ano,
, e
. Use o método da secante modificado para resolver para a concentração de estado estacionário. Empregue um valor inicial de
e
. Realize três iterações e determine o erro relativo depois da terceira iteração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a concentração de estado estacionário
usando o método da secante modificado. Para isso, vamos utilizar os valores fornecidos:
- Volume
- Vazão
- Entrada de poluente
- Constante
- Valor inicial
- Disturbio
Vamos precisar aplicar o método da secante modificado para encontrar
de estado estacionário realizando três iterações e calcular o erro relativo na terceira iteração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa concentração de estado estacionário. Nesse caso, a concentração
não está mais mudando com o tempo, ou seja, a derivada
.
Começamos com a equação fornecida:
Como estamos no estado estacionário,
. Então, a equação fica:
Vamos reorganizar isso para formar uma função
que queremos igualar a zero:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da secante modificado. Esse método é uma forma de encontrar raízes de equações não lineares como
. A ideia é aproximar a derivada de
usando um pequeno incremento
.
A fórmula do método da secante modificado é:
Onde:
-
é a estimativa atual -
é a estimativa anterior -
é o disturbio fornecido
Vamos começar com
. Para a primeira iteração, precisamos de uma segunda estimativa. Podemos usar
.
Passo 4
Primeira Iteração (
a
)
Calculamos
e
:
Agora, aplicamos a fórmula da secante modificada:
Passo 5
Segunda Iteração (
a
)
Agora, usamos
e
.
Calculamos
:
Surpreendentemente,
chegou a zero, o que significa que encontramos a raiz exata!
Passo 6
Terceira Iteração (
a
)
Como já encontramos
, não há necessidade de continuar as iterações. O método da secante modificada convergiu na segunda iteração.
Resposta
Após duas iterações, a concentração de estado estacionário é
com erro relativo praticamente zero, indicando que atingimos a solução exata.
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Use o método da bissecção para determinar o coeficiente de arraste © necessário para que um paraquedista de 82 kg tenha uma velocidade de
, depois de 4 segundos de queda livre.
Nota: a aceleração da gravidade é de . Comece com suposições iniciais de
3 e
e faça iterações até o erro relativo aproximado estiver abaixo de 2%. Também faça uma verificação de erro substituindo sua resposta final na equação original.
Nota: a aceleração da gravidade é de
a) Resolva o sistema utilizando eliminação gaussiana com pivoteamento parcial.
b) Substitua seus resultados nas equações originais para checar sua resposta.
b) Substitua seus resultados nas equações originais para checar sua resposta.
O vetor
é perpendicular ao
e ao
. Também sabe-se que
. Use a fatoração LU para descobrir os valores de
e
.
Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jacobi com erro
.