1-18 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
  1. y=2-12 x, y=0, x=1, x=2 ; em torno do eixo x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas , , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos ou arruelas, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas e (que é o eixo ) delimitam a parte de cima e de baixo, respectivamente. Além disso, os limites laterais são e . Vamos esboçar essa região rapidamente:
Esboço da Região
Agora, para calcular o volume, vamos usar o método das arruelas. Esse método consiste em imaginar fatias finas da região perpendicular ao eixo de rotação, onde cada fatia forma uma “arruela” (uma espécie de anel). O volume total será a soma de todos esses pequenos volumes.

Passo 3

Vamos montar a integral para calcular o volume. A fórmula do método das arruelas é:
V = pi integrala^b [ R(x)^2 - r(x)^2 ] dx
Aqui:
  • V = pi integral1^2 [ (2 - 12x)^2 - 0^2 ] dx = pi integral1^2 (2 - 12x)^2 dx é o raio externo da arruela.
  • (2 - 12x)^2 = 4 - 2x + 14x^2 é o raio interno da arruela.
  • V = pi integral1^2 (4 - 2x + 14x^2) dx e V = pi [ 4x - x^2 + 112x^3 ]1^2 são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 2.
No nosso problema, como estamos girando em torno do eixo 4(2) - (2)^2 + 112(2)^3 = 8 - 4 + 812 = 4 + 23 e a curva de cima é 4(1) - (1)^2 + 112(1)^3 = 4 - 1 + 112 = 3 + 112 e a de baixo é (4 + 23) - (3 + 112) = 1 + 23 - 112 = 1 + 812 - 112 = 1 + 712 = 1912 , o raio externo V = pi times 1912 = 1912 pi e o raio interno .
Então, substituindo na fórmula:
Agora, vamos resolver essa integral:
Primeiro, expandimos o quadrado:
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos nos limites:
Para :
Para :
Calculando a diferença:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido formado pela rotação da região dada em torno do eixo é unidades cúbicas.

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