1-18 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
  1. em torno do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas , , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos ou arruelas, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas e (que é o eixo ) delimitam a parte de cima e de baixo, respectivamente. Além disso, os limites laterais são e . Vamos esboçar essa região rapidamente:
Esboço da Região
Agora, para calcular o volume, vamos usar o método das arruelas. Esse método consiste em imaginar fatias finas da região perpendicular ao eixo de rotação, onde cada fatia forma uma “arruela” (uma espécie de anel). O volume total será a soma de todos esses pequenos volumes.

Passo 3

Vamos montar a integral para calcular o volume. A fórmula do método das arruelas é:
Aqui:
  • é o raio externo da arruela.
  • é o raio interno da arruela.
  • e são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 2.
No nosso problema, como estamos girando em torno do eixo e a curva de cima é e a de baixo é , o raio externo e o raio interno .
Então, substituindo na fórmula:
Agora, vamos resolver essa integral:
Primeiro, expandimos o quadrado:
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos nos limites:
Para :
Para :
Calculando a diferença:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido formado pela rotação da região dada em torno do eixo é unidades cúbicas.

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É muito comum na engenharia a utilização de modelos onde uma dada variável é dada em função de mais de uma variável independente.
Suponha que a vazão de água em um tubo de concreto de seção transversal circular é dada pelo seguinte equação:

onde é o diâmetro do tubo (ft) igual a 3(ft), é a inclinação (ft/ft), é vazão e são parâmetros do modelo.
Foram realizados experimentos que geraram a seguinte tabela de dados:
EXPERIMENTO INCLINAÇÃO (S) VAZÃO (Q)
1 0.001 1.4
2 0.01 28.9
3 0.05 200
4 0.1 250
Sabendo-se que deseja-se aplicar o modelo para a estimação de vazão em tubos com diâmetro entre estimar os parâmetros e por regressão linear
Considere a seguinte Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem:
Considerando o intervalo [0; 2], encontre a solução numérica dessa equação usando: O método de Euler com ;
Sherlock Holmes é um renomado detetive de Londres que possui uma capacidade inigualável de dedução. Ele está investigando as pistas sobre o desaparecimento do anel de casamento de Elizabeth II. Ao seguir as pistas ele chegou em um estacionamento próximo ao palácio de Buckingham e encontrou, em um papel, anotações da hora e quantos carros estavam estacionados.
Horário (h) 8 9 10 11
Carros 11 18 30 49
Além destas anotações, também estava escrito que o número da casa onde estará a próxima pista era o número de carros na metade da hora entre 10 h e 11h.
b) Utilizando a função obtida, qual o número de carros no estacionamento às (ou 10h30min). Se o resultado possuir casas decimais utilize arredondamento para o inteiro mais próximo.
Determinar a parábola mais próxima dos pontos para a função tabelada:
x -3 -1 1 2 3
y -1 0 1 1 -1
usando o método dos mínimos quadrados.