1-18 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
-
em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas
,
,
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou arruelas, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas
e
(que é o eixo
) delimitam a parte de cima e de baixo, respectivamente. Além disso, os limites laterais são
e
. Vamos esboçar essa região rapidamente:

Agora, para calcular o volume, vamos usar o método das arruelas. Esse método consiste em imaginar fatias finas da região perpendicular ao eixo de rotação, onde cada fatia forma uma “arruela” (uma espécie de anel). O volume total será a soma de todos esses pequenos volumes.
Passo 3
Vamos montar a integral para calcular o volume. A fórmula do método das arruelas é:
Aqui:
-
é o raio externo da arruela. -
é o raio interno da arruela. -
e são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 2.
No nosso problema, como estamos girando em torno do eixo
e a curva de cima é
e a de baixo é
, o raio externo
e o raio interno
.
Então, substituindo na fórmula:
Agora, vamos resolver essa integral:
Primeiro, expandimos o quadrado:
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos nos limites:
Para
:
Para
:
Calculando a diferença:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido formado pela rotação da região dada em torno do eixo
é
unidades cúbicas.