1-18 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
-
em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas
,
,
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou arruelas, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas
e
(que é o eixo
) delimitam a parte de cima e de baixo, respectivamente. Além disso, os limites laterais são
e
. Vamos esboçar essa região rapidamente:
Agora, para calcular o volume, vamos usar o método das arruelas. Esse método consiste em imaginar fatias finas da região perpendicular ao eixo de rotação, onde cada fatia forma uma “arruela” (uma espécie de anel). O volume total será a soma de todos esses pequenos volumes.
Passo 3
Vamos montar a integral para calcular o volume. A fórmula do método das arruelas é:
Aqui:
-
é o raio externo da arruela. -
é o raio interno da arruela. -
e são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 2.
No nosso problema, como estamos girando em torno do eixo
e a curva de cima é
e a de baixo é
, o raio externo
e o raio interno
.
Então, substituindo na fórmula:
Agora, vamos resolver essa integral:
Primeiro, expandimos o quadrado:
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos nos limites:
Para
:
Para
:
Calculando a diferença:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido formado pela rotação da região dada em torno do eixo
é
unidades cúbicas.
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Suponha que a vazão de água em um tubo de concreto de seção transversal circular é dada pelo seguinte equação:
onde é o diâmetro do tubo (ft) igual a 3(ft),
é a inclinação (ft/ft),
é vazão
e
são parâmetros do modelo.
Foram realizados experimentos que geraram a seguinte tabela de dados:
Suponha que a vazão de água em um tubo de concreto de seção transversal circular é dada pelo seguinte equação:
onde
Foram realizados experimentos que geraram a seguinte tabela de dados:
EXPERIMENTO | INCLINAÇÃO (S) | VAZÃO (Q) |
---|---|---|
1 | 0.001 | 1.4 |
2 | 0.01 | 28.9 |
3 | 0.05 | 200 |
4 | 0.1 | 250 |
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;
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Horário (h) | 8 | 9 | 10 | 11 |
---|---|---|---|---|
Carros | 11 | 18 | 30 | 49 |
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b) Utilizando a função obtida, qual o número de carros no estacionamento às
Determinar a parábola mais próxima dos pontos
para a função
tabelada:
x | -3 | -1 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|---|
y | -1 | 0 | 1 | 1 | -1 |
usando o método dos mínimos quadrados.