É muito comum na engenharia a utilização de modelos onde uma dada variável é dada em função de mais de uma variável independente.
Suponha que a vazão de água em um tubo de concreto de seção transversal circular é dada pelo seguinte equação:
Q=a0 cdot D cdot S^a12
onde D é o diâmetro do tubo (ft) igual a 3(ft), S é a inclinação (ft/ft), Q é vazão (ft^3 / s), a0 e a1 são parâmetros do modelo.
Foram realizados experimentos que geraram a seguinte tabela de dados:
EXPERIMENTO INCLINAÇÃO (S) VAZÃO (Q)
1 0.001 1.4
2 0.01 28.9
3 0.05 200
4 0.1 250
Sabendo-se que deseja-se aplicar o modelo para a estimação de vazão em tubos com diâmetro entre 2 f t estimar os parâmetros a0 e a1 por regressão linear

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação que relaciona a vazão de água Q = a0 cdot D cdot S^a12 em um tubo com diâmetro e inclinação :
Queremos encontrar os parâmetros e usando regressão linear com os dados dos experimentos. Pra isso, vamos precisar entender como transformar essa equação pra ficar numa forma que a gente consiga aplicar a regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Experimento Inclinação ( ) Vazão ( )
1 0.001 1.4
2 0.01 28.9
3 0.05 200
4 0.1 250
Sabemos que ft. Vamos usar isso para simplificar a equação.

Passo 3

Vamos transformar a equação original para conseguir aplicar a regressão linear. Primeiro, dividimos ambos os lados por QD = a0 cdot S^a12 :
ln(QD) = ln(a0) + a12 ln(S)
Agora, pegamos o logaritmo natural de ambos os lados para linearizar a relação:
Essa equação está na forma linear , onde:

Passo 4

Vamos calcular os valores de e para cada experimento:
Experimento
1 0.001 1.4 -6.907755 -0.7642
2 0.01 28.9 -4.605170 3.3673
3 0.05 200 -2.995732 5.2983
4 0.1 250 -2.302585 5.5215
(Os valores de foram calculados usando , , etc.)

Passo 5

Agora, vamos calcular as somas necessárias para a regressão linear:
sum X &= -6.907755 + (-4.605170) + (-2.995732) + (-2.302585) = -16.810242 sum Y &= -0.7642 + 3.3673 + 5.2983 + 5.5215 = 13.4229 sum X^2 &= (-6.907755)^2 + (-4.605170)^2 + (-2.995732)^2 + (-2.302585)^2 &= 47.4484 + 21.2073 + 8.9744 + 5.3019 = 82.9319 sum XY &= (-6.907755)(-0.7642) + (-4.605170)(3.3673) + (-2.995732)(5.2983) + (-2.302585)(5.5215) &= 5.2755 + (-15.5048) + (-15.8523) + (-12.7074) = -38.7889 n &= 4

Passo 6

Vamos usar as fórmulas da regressão linear para encontrar b1 = nsum XY - (sum X)(sum Y)nsum X^2 - (sum X)^2 e b0 = sum Y - b1 sum Xn :
b1 = 4 times (-38.7889) - (-16.810242) times 13.42294 times 82.9319 - (-16.810242)^2
b1 = -155.1556 + 226.1825331.7276 - 282.7620 = 71.026948.9656 approx 1.4505
Substituindo os valores:
b0 = 13.4229 - 1.4505 times (-16.810242)4 = 13.4229 + 24.36314 = 37.78604 approx 9.4465
Calculando numerador e denominador:
Agora, calculamos :

Passo 7

Lembrando que:
b0 = ln(a0) e b1 = a12
Vamos encontrar a0 = e^b0 = e^9.4465 approx 12556.4 e a1 = 2 times b1 = 2 times 1.4505 approx 2.9010 :

Resposta

Os parâmetros estimados pelo modelo de regressão linear são:
a0 approx 12,556.4 e a1 approx 2.9010

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