É muito comum na engenharia a utilização de modelos onde uma dada variável é dada em função de mais de uma variável independente.
Suponha que a vazão de água em um tubo de concreto de seção transversal circular é dada pelo seguinte equação:
onde
é o diâmetro do tubo (ft) igual a 3(ft),
é a inclinação (ft/ft),
é vazão
e
são parâmetros do modelo.
Foram realizados experimentos que geraram a seguinte tabela de dados:
Suponha que a vazão de água em um tubo de concreto de seção transversal circular é dada pelo seguinte equação:
onde
Foram realizados experimentos que geraram a seguinte tabela de dados:
EXPERIMENTO | INCLINAÇÃO (S) | VAZÃO (Q) |
---|---|---|
1 | 0.001 | 1.4 |
2 | 0.01 | 28.9 |
3 | 0.05 | 200 |
4 | 0.1 | 250 |
Sabendo-se que deseja-se aplicar o modelo para a estimação de vazão em tubos com diâmetro entre
estimar os parâmetros
e
por regressão linear
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação que relaciona a vazão de água
em um tubo com diâmetro
e inclinação
:
Queremos encontrar os parâmetros
e
usando regressão linear com os dados dos experimentos. Pra isso, vamos precisar entender como transformar essa equação pra ficar numa forma que a gente consiga aplicar a regressão linear.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Experimento | Inclinação (
|
Vazão (
|
---|---|---|
1 | 0.001 | 1.4 |
2 | 0.01 | 28.9 |
3 | 0.05 | 200 |
4 | 0.1 | 250 |
Sabemos que
ft. Vamos usar isso para simplificar a equação.
Passo 3
Vamos transformar a equação original para conseguir aplicar a regressão linear. Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Agora, pegamos o logaritmo natural de ambos os lados para linearizar a relação:
Essa equação está na forma linear
, onde:
Passo 4
Vamos calcular os valores de
e
para cada experimento:
Experimento |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
1 | 0.001 | 1.4 | -6.907755 | -0.7642 |
2 | 0.01 | 28.9 | -4.605170 | 3.3673 |
3 | 0.05 | 200 | -2.995732 | 5.2983 |
4 | 0.1 | 250 | -2.302585 | 5.5215 |
(Os valores de
foram calculados usando
,
, etc.)
Passo 5
Agora, vamos calcular as somas necessárias para a regressão linear:
Passo 6
Vamos usar as fórmulas da regressão linear para encontrar
e
:
Substituindo os valores:
Calculando numerador e denominador:
Agora, calculamos
:
Passo 7
Lembrando que:
Vamos encontrar
e
:
Resposta
Os parâmetros estimados pelo modelo de regressão linear são: