Determinar a parábola mais próxima dos pontos (xi, yi) para a função y=f(x) tabelada:
x -3 -1 1 2 3
y -1 0 1 1 -1
usando o método dos mínimos quadrados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a parábola que melhor se ajusta aos pontos dados na tabela usando o método dos mínimos quadrados. Basicamente, queremos uma função do tipo que passe o mais próximo possível de todos esses pontos. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e estatística para minimizar os erros entre os valores reais e os valores previstos pela parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os pontos que temos:
|c|c|c|c|c|c| hline x & -3 & -1 & 1 & 2 & 3 hline y & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 hline
Queremos encontrar os coeficientes , e da parábola que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais de e os valores estimados pela equação. Isso é o que o método dos mínimos quadrados faz.

Passo 3

Para aplicar o método, precisamos montar um sistema de equações baseado nos nossos pontos. Vamos usar as somas dos valores de sum x &= (-3) + (-1) + 1 + 2 + 3 = 2 sum x^2 &= (-3)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 9 + 1 + 1 + 4 + 9 = 24 sum x^3 &= (-3)^3 + (-1)^3 + 1^3 + 2^3 + 3^3 = -27 -1 + 1 + 8 + 27 = 8 sum x^4 &= (-3)^4 + (-1)^4 + 1^4 + 2^4 + 3^4 = 81 + 1 + 1 + 16 + 81 = 180 sum y &= (-1) + 0 + 1 + 1 + (-1) = 0 sum xy &= (-3)(-1) + (-1)(0) + (1)(1) + (2)(1) + (3)(-1) = 3 + 0 + 1 + 2 -3 = 3 sum x^2y &= (-3)^2(-1) + (-1)^2(0) + (1)^2(1) + (2)^2(1) + (3)^2(-1) = -9 + 0 + 1 + 4 -9 = -13 , , , , , e . Vamos calcular cada uma dessas somas:

Passo 4

Agora, montamos o sistema de equações para encontrar a sum x^4 + b sum x^3 + c sum x^2 = sum x^2y a sum x^3 + b sum x^2 + c sum x = sum xy a sum x^2 + b sum x + c sum 1 = sum y , 180a + 8b + 24c = -13 8a + 24b + 2c = 3 24a + 2b + 5c = 0 e :
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Vamos resolver passo a passo usando a eliminação.
Primeiro, vamos simplificar a terceira equação:
24a + 2b + 5c = 0 Rightarrow 12a + b + 2.5c = 0 (1)
Agora, vamos multiplicar a segunda equação por 6 para facilitar a eliminação:
8a + 24b + 2c = 3 times 3 Rightarrow 24a + 72b + 6c = 9 (2)
Subtraindo a equação (1) de (2):
(24a + 72b + 6c) - (12a + b + 2.5c) = 9 - 0 12a + 71b + 3.5c = 9 (3)
Agora, vamos resolver as equações (1) e (3):
12a + b + 2.5c = 0 12a + 71b + 3.5c = 9
Subtraindo a primeira da segunda:
(12a + 71b + 3.5c) - (12a + b + 2.5c) = 9 - 0 70b + c = 9 (4)
Agora, da equação (4), podemos expressar c = 9 - 70b (5) em função de 12a + b + 2.5(9 - 70b) = 0 12a + b + 22.5 - 175b = 0 12a - 174b = -22.5 (6) :
2a - 29b = -3.75 (7)
Substituindo 180a + 8b + 24c = -13 (8) na equação (1):
180a + 8b + 24(9 - 70b) = -13 180a + 8b + 216 - 1680b = -13 180a - 1672b = -229 (9)
Dividindo todos os termos por 6:
2a - 29b = -3.75 (7) 180a - 1672b = -229 (9)
Agora, vamos voltar à primeira equação do sistema original:
2a = 29b - 3.75 a = 29b - 3.752 (10)
Substituindo 180(29b - 3.752) - 1672b = -229 90(29b - 3.75) - 1672b = -229 2610b - 337.5 - 1672b = -229 938b = 108.5 b = 108.5938 approx 0.1157 na equação (8):
a = 29(0.1157) - 3.752 approx 3.3563 - 3.752 approx -0.39372 approx -0.1969
Agora, temos duas equações:
c = 9 - 70(0.1157) approx 9 - 8.099 approx 0.901
Vamos resolver essas equações. Primeiro, da equação (7), isolamos :
Substituindo na equação (9):
Agora, usando o valor de na equação (10):
E, finalmente, usando na equação (5):

Resposta

A parábola que melhor se ajusta aos pontos dados pelo método dos mínimos quadrados é:
y = -0.1969x^2 + 0.1157x + 0.901

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