Determinar a parábola mais próxima dos pontos para a função tabelada:
x
-3
-1
1
2
3
y
-1
0
1
1
-1
usando o método dos mínimos quadrados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a parábola que melhor se ajusta aos pontos dados na tabela usando o método dos mínimos quadrados. Basicamente, queremos uma função do tipo que passe o mais próximo possível de todos esses pontos. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e estatística para minimizar os erros entre os valores reais e os valores previstos pela parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os pontos que temos:
Queremos encontrar os coeficientes , e da parábola que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais de e os valores estimados pela equação. Isso é o que o método dos mínimos quadrados faz.
Passo 3
Para aplicar o método, precisamos montar um sistema de equações baseado nos nossos pontos. Vamos usar as somas dos valores de , , , , , e . Vamos calcular cada uma dessas somas:
Passo 4
Agora, montamos o sistema de equações para encontrar , e :
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Vamos resolver passo a passo usando a eliminação.
Primeiro, vamos simplificar a terceira equação:
Agora, vamos multiplicar a segunda equação por 6 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a equação (1) de (2):
Agora, vamos resolver as equações (1) e (3):
Subtraindo a primeira da segunda:
Agora, da equação (4), podemos expressar em função de :
Substituindo na equação (1):
Dividindo todos os termos por 6:
Agora, vamos voltar à primeira equação do sistema original:
Substituindo na equação (8):
Agora, temos duas equações:
Vamos resolver essas equações. Primeiro, da equação (7), isolamos :
Substituindo na equação (9):
Agora, usando o valor de na equação (10):
E, finalmente, usando na equação (5):
Resposta
A parábola que melhor se ajusta aos pontos dados pelo método dos mínimos quadrados é: