Considere a seguinte Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem:
d yd x=x+2 y2 x+y y(0)=1
Considerando o intervalo [0; 2], encontre a solução numérica dessa equação usando: O método de Euler com h=0,5;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
dydx = x + 2y2x + y, y(0) = 1
E a gente precisa encontrar uma solução numérica nessa equação usando o método de Euler com um passo ( h) de 0,5 no intervalo de [0; 2]. Então, vamos precisar entender como funciona o método de Euler e aplicá-lo passo a passo para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Euler. É uma técnica simples para aproximar soluções de equações diferenciais. A ideia é usar uma aproximação linear a partir de um ponto conhecido para estimar o próximo ponto na solução.
A fórmula do método de Euler é:
yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn)
onde:
  • yn é o valor atual da função
  • h é o tamanho do passo
  • f(xn, yn) é a derivada da função no ponto atual

Passo 3

Vamos identificar os valores iniciais:
  • Ponto inicial: x0 = 0
  • Valor inicial de y: y0 = 1
  • Tamanho do passo: h = 0,5
  • Intervalo: [0; 2], então vamos ter 4 pontos: x0=0, x1=0,5, x2=1,0, x3=1,5, x4=2,0

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula do método de Euler para cada passo.
Começando com n=0:
y1 = y0 + h cdot f(x0, y0)
Precisamos calcular f(x0, y0) usando a equação diferencial dada:
f(x, y) = x + 2y2x + y

Passo 5

Calculando f(x0, y0):
f(0, 1) = 0 + 2 cdot 12 cdot 0 + 1 = 21 = 2
Então:
y1 = 1 + 0,5 cdot 2 = 1 + 1 = 2

Passo 6

Agora, para n=1 ( x1=0,5, y1=2):
f(0,5, 2) = 0,5 + 2 cdot 22 cdot 0,5 + 2 = 0,5 + 41 + 2 = 4,53 = 1,5
Então:
y2 = 2 + 0,5 cdot 1,5 = 2 + 0,75 = 2,75

Passo 7

Para n=2 ( x2=1,0, y2=2,75):
f(1, 2,75) = 1 + 2 cdot 2,752 cdot 1 + 2,75 = 1 + 5,52 + 2,75 = 6,54,75 approx 1,3684
Então:
y3 = 2,75 + 0,5 cdot 1,3684 approx 2,75 + 0,6842 approx 3,4342

Passo 8

Finalmente, para n=3 ( x3=1,5, y3 approx 3,4342):
f(1,5, 3,4342) = 1,5 + 2 cdot 3,43422 cdot 1,5 + 3,4342 = 1,5 + 6,86843 + 3,4342 = 8,36846,4342 approx 1,2997
Então:
y4 approx 3,4342 + 0,5 cdot 1,2997 approx 3,4342 + 0,6499 approx 4,0841

Resposta

A solução numérica da equação diferencial no intervalo [0; 2] usando o método de Euler com h=0,5 é aproximadamente y(2) approx 4,0841.

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