[3] A partir da tabela abaixo, aproxime o conjunto de pontos pelo método dos mínimos quadrados considerando
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
5.02
5.21
6.49
9.54
16.02
24.53
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para usar o método dos mínimos quadrados para aproximar um conjunto de pontos usando a função . Isso significa que queremos encontrar os valores de e que fazem com que a curva fique o mais próxima possível dos pontos dados na tabela. Para isso, vamos precisar usar o conceito de mínimos quadrados, que ajuda a minimizar a soma dos erros ao quadrado entre os valores observados e os valores estimados pela nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como aplicar o método dos mínimos quadrados para essa função específica. Como é linear em relação aos parâmetros e , podemos escrever isso como uma combinação linear:
Nosso objetivo é ajustar essa função aos pontos da tabela minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais e os valores estimados pela nossa função.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar e . Para isso, precisamos calcular algumas somas com base nos valores de e fornecidos. O sistema será:
Isso vem da aplicação das condições de minimização dos mínimos quadrados, onde derivamos em relação a e e igualamos a zero.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas somas usando os dados fornecidos:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores no sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema para encontrar e . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação:
Primeiro, multiplicamos a segunda equação por 6 para facilitar a eliminação:
Agora, subtraímos as equações para eliminar :
Isso ainda é um pouco complicado, então vamos resolver usando matrizes ou uma calculadora. Para simplificar, vamos resolver as equações originais diretamente:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na expressão para :
Resposta
Os valores que aproximam o conjunto de pontos pelo método dos mínimos quadrados são e .