[3] A partir da tabela abaixo, aproxime o conjunto de pontos pelo método dos mínimos quadrados considerando
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0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 |
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5.02 | 5.21 | 6.49 | 9.54 | 16.02 | 24.53 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para usar o método dos mínimos quadrados para aproximar um conjunto de pontos usando a função
. Isso significa que queremos encontrar os valores de
e
que fazem com que a curva
fique o mais próxima possível dos pontos dados na tabela. Para isso, vamos precisar usar o conceito de mínimos quadrados, que ajuda a minimizar a soma dos erros ao quadrado entre os valores observados e os valores estimados pela nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como aplicar o método dos mínimos quadrados para essa função específica. Como
é linear em relação aos parâmetros
e
, podemos escrever isso como uma combinação linear:
Nosso objetivo é ajustar essa função aos pontos da tabela minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais
e os valores estimados pela nossa função.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar
e
. Para isso, precisamos calcular algumas somas com base nos valores de
e
fornecidos. O sistema será:
Isso vem da aplicação das condições de minimização dos mínimos quadrados, onde derivamos em relação a
e
e igualamos a zero.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas somas usando os dados fornecidos:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores no sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação:
Primeiro, multiplicamos a segunda equação por 6 para facilitar a eliminação:
Agora, subtraímos as equações para eliminar
:
Isso ainda é um pouco complicado, então vamos resolver usando matrizes ou uma calculadora. Para simplificar, vamos resolver as equações originais diretamente:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo
na expressão para
:
Resposta
Os valores que aproximam o conjunto de pontos pelo método dos mínimos quadrados são
e
.