[3] A partir da tabela abaixo, aproxime o conjunto de pontos pelo método dos mínimos quadrados considerando
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
5.02 5.21 6.49 9.54 16.02 24.53

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para usar o método dos mínimos quadrados para aproximar um conjunto de pontos usando a função . Isso significa que queremos encontrar os valores de e que fazem com que a curva fique o mais próxima possível dos pontos dados na tabela. Para isso, vamos precisar usar o conceito de mínimos quadrados, que ajuda a minimizar a soma dos erros ao quadrado entre os valores observados e os valores estimados pela nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como aplicar o método dos mínimos quadrados para essa função específica. Como é linear em relação aos parâmetros e , podemos escrever isso como uma combinação linear:
Nosso objetivo é ajustar essa função aos pontos da tabela minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais e os valores estimados pela nossa função.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar e . Para isso, precisamos calcular algumas somas com base nos valores de e fornecidos. O sistema será:
Isso vem da aplicação das condições de minimização dos mínimos quadrados, onde derivamos em relação a e e igualamos a zero.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas somas usando os dados fornecidos:

Passo 5

Agora, substituímos esses valores no sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema para encontrar e . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação:
Primeiro, multiplicamos a segunda equação por 6 para facilitar a eliminação:
Agora, subtraímos as equações para eliminar :
Isso ainda é um pouco complicado, então vamos resolver usando matrizes ou uma calculadora. Para simplificar, vamos resolver as equações originais diretamente:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na expressão para :

Resposta

Os valores que aproximam o conjunto de pontos pelo método dos mínimos quadrados são e .

Exercícios relacionados

Para cada conjunto de dados apresentados nos itens abaixo, considere a aproximação por spline quadrática para apresentar as matrizes do sistema
sendo,
A : matriz de coeficientes
: matriz de parâmetros das funções quadráticas
b : valores de
a)
[2] Aplique a regra do trapézio com diferentes valores de para calcular
Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere .
a) Com
b) Com .
c) Com
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do Gauss Seidel, com ou máximo 4 iterações. (Caso seja necessário, use o critério de convergência para rearranjar as equações).