[3] A partir da tabela abaixo, aproxime o conjunto de pontos pelo método dos mínimos quadrados considerando f(x)=a e^x+b e^-x
x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
f(x) 5.02 5.21 6.49 9.54 16.02 24.53

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para usar o método dos mínimos quadrados para aproximar um conjunto de pontos usando a função . Isso significa que queremos encontrar os valores de e que fazem com que a curva fique o mais próxima possível dos pontos dados na tabela. Para isso, vamos precisar usar o conceito de mínimos quadrados, que ajuda a minimizar a soma dos erros ao quadrado entre os valores observados e os valores estimados pela nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como aplicar o método dos mínimos quadrados para essa função específica. Como f(x) = a cdot e^x + b cdot e^-x é linear em relação aos parâmetros e , podemos escrever isso como uma combinação linear:
Nosso objetivo é ajustar essa função aos pontos da tabela minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais e os valores estimados pela nossa função.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar sum f(xi) e^xi = a sum e^2xi + b sum 1 sum f(xi) e^-xi = a sum 1 + b sum e^-2xi e . Para isso, precisamos calcular algumas somas com base nos valores de e fornecidos. O sistema será:
Isso vem da aplicação das condições de minimização dos mínimos quadrados, onde derivamos em relação a e e igualamos a zero.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas somas usando os dados fornecidos:
sum e^2xi &= e^0 + e^1 + e^2 + e^3 + e^4 + e^5 &= 1 + 2.7183 + 7.3891 + 20.0855 + 54.5982 + 148.4132 &approx 233.6032
sum e^-2xi = e^0 + e^-1 + e^-2 + e^-3 + e^-4 + e^-5 approx 1 + 0.3679 + 0.1353 + 0.0498 + 0.0183 + 0.0067 approx 1.577
sum e^xi e^xi = sum e^2xi approx 233.6032
sum e^-xi e^-xi = sum e^-2xi approx 1.577
sum e^xi e^-xi = sum 1 = 6
sum f(xi) e^xi = 5.02 cdot 1 + 5.21 cdot e^0.5 + 6.49 cdot e^1 + 9.54 cdot e^1.5 + 16.02 cdot e^2 + 24.53 cdot e^2.5 approx 5.02 + 5.21 cdot 1.6487 + 6.49 cdot 2.7183 + 9.54 cdot 4.4817 + 16.02 cdot 7.3891 + 24.53 cdot 12.1825 approx 5.02 + 8.57 + 17.60 + 42.80 + 118.58 + 298.15 approx 490.72
sum f(xi) e^-xi = 5.02 cdot 1 + 5.21 cdot e^-0.5 + 6.49 cdot e^-1 + 9.54 cdot e^-1.5 + 16.02 cdot e^-2 + 24.53 cdot e^-2.5 approx 5.02 + 5.21 cdot 0.6065 + 6.49 cdot 0.3679 + 9.54 cdot 0.2231 + 16.02 cdot 0.1353 + 24.53 cdot 0.0821 approx 5.02 + 3.16 + 2.38 + 2.13 + 2.17 + 2.01 approx 16.87

Passo 5

Agora, substituímos esses valores no sistema de equações:
490.72 = a cdot 233.6032 + b cdot 6 16.87 = a cdot 6 + b cdot 1.577

Passo 6

Vamos resolver esse sistema para encontrar 490.72 = 233.6032a + 6b 101.22 = 36a + 9.462b e 490.72 - 101.22 = 233.6032a - 36a + 6b - 9.462b 389.5 = 197.6032a - 3.462b . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação:
Primeiro, multiplicamos a segunda equação por 6 para facilitar a eliminação:
16.87 = 6a + 1.577b Rightarrow 1.577b = 16.87 - 6a Rightarrow b = 16.87 - 6a1.577
Agora, subtraímos as equações para eliminar 490.72 = 233.6032a + 6 ( 16.87 - 6a1.577 ) 490.72 = 233.6032a + 101.22 - 36a1.577 Mu:
490.72 times 1.577 = 233.6032a times 1.577 + 101.22 - 36a 773.7 approx 368.72a + 101.22 - 36a 773.7 - 101.22 approx 332.72a 672.48 approx 332.72a Rightarrow a approx 672.48332.72 approx 2.023
Isso ainda é um pouco complicado, então vamos resolver usando matrizes ou uma calculadora. Para simplificar, vamos resolver as equações originais diretamente:
Da segunda equação:
b = 16.87 - 6 times 2.0231.577 approx 16.87 - 12.1381.577 approx 4.7321.577 approx 3.0
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na expressão para :

Resposta

Os valores que aproximam o conjunto de pontos pelo método dos mínimos quadrados são e .

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