[2] Considere o problema de encontrar um zero da função
no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
a) Por que não podemos utilizar
como função de iteração com garantia de convergência?
a) Por que não podemos utilizar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um zero da função
no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo. Esse método envolve reescrever a função como
e iterar para encontrar a solução. A parte que precisamos resolver aqui é entender por que não podemos usar
como função de iteração, garantindo que o método funcione direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método do ponto fixo. A ideia é transformar a equação
em
e então iterar usando essa função
. Para garantir que essa iteração convirja para a solução, a função
precisa satisfazer algumas condições, principalmente relacionadas à derivada dela.
Passo 3
Uma das condições principais para a convergência do método é que a derivada de
no ponto fixo seja menor que 1 em módulo, ou seja,
. Isso evita que as iterações “passem longe” da solução e garante que elas vão se aproximar cada vez mais do zero da função.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, no intervalo [1, 2], vamos ver qual é o valor de
:
- Em
: - Em
:
Isso significa que, nesse intervalo,
varia de 3 a 12.
Passo 5
Agora, vamos verificar a condição de convergência:
. Olhando para os valores calculados, vemos que mesmo no menor valor,
, já é maior que 1. Isso quer dizer que a derivada de
não satisfaz a condição necessária para garantir que as iterações vão convergir para a solução.
Resposta
Não podemos usar
como função de iteração no método do ponto fixo porque a derivada de
no intervalo [1, 2] é maior que 1, o que impede a convergência do método.
Exercícios relacionados
(1) Considere
e
dois números reais
.
a) Reescreva o problema de calcular como o problema de encontrar o zero de uma função
.
a) Reescreva o problema de calcular
[2] Estime o número de iterações
do método da bissecção suficiente para encontrar a raiz da função
no intervalo
com precisão
.
[2] Considere o problema de encontrar um zero da função
no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
b) Encontre outra função de iteração que garanta a convergência do método.
b) Encontre outra função de iteração que garanta a convergência do método.
[2] Considere o problema de encontrar um zero da função
no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
c) Use a função determinada no item b) para determinar a raiz de no intervalo [1,2]. Use
, critério de parada
casas depois da vírgula e arredondamento.
c) Use a função determinada no item b) para determinar a raiz de