[2] Considere o problema de encontrar um zero da função f(x)=x^3-x-1 no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
a) Por que não podemos utilizar g(x)=x^3-1 como função de iteração com garantia de convergência?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um zero da função no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo. Esse método envolve reescrever a função como e iterar para encontrar a solução. A parte que precisamos resolver aqui é entender por que não podemos usar como função de iteração, garantindo que o método funcione direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método do ponto fixo. A ideia é transformar a equação em e então iterar usando essa função . Para garantir que essa iteração convirja para a solução, a função precisa satisfazer algumas condições, principalmente relacionadas à derivada dela.

Passo 3

Uma das condições principais para a convergência do método é que a derivada de no ponto fixo seja menor que 1 em módulo, ou seja, . Isso evita que as iterações “passem longe” da solução e garante que elas vão se aproximar cada vez mais do zero da função.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de g'(x) = 3x^2 :
Agora, no intervalo [1, 2], vamos ver qual é o valor de :
  • Em :
  • Em :
Isso significa que, nesse intervalo, varia de 3 a 12.

Passo 5

Agora, vamos verificar a condição de convergência: . Olhando para os valores calculados, vemos que mesmo no menor valor, , já é maior que 1. Isso quer dizer que a derivada de não satisfaz a condição necessária para garantir que as iterações vão convergir para a solução.

Resposta

Não podemos usar como função de iteração no método do ponto fixo porque a derivada de no intervalo [1, 2] é maior que 1, o que impede a convergência do método.

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