[2] Considere o problema de encontrar um zero da função
no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
b) Encontre outra função de iteração que garanta a convergência do método.
b) Encontre outra função de iteração que garanta a convergência do método.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar outra função de iteração usando o método do ponto fixo para achar um zero da função
no intervalo [1, 2]. A matéria aqui é o método do ponto fixo, que basicamente tenta encontrar um valor de
que satisfaça
. Para garantir que o método funcione e converja para a solução, precisamos escolher uma função
adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
de uma forma que possamos isolar
em um dos lados. A equação original é:
Podemos rearranjar isso para isolar
:
Então, uma função de iteração possível é:
Essa função basicamente diz que, para encontrar o próximo valor de
, você tira a raiz cúbica de
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa escolha de
garante a convergência do método do ponto fixo. Para isso, olhamos para a derivada de
e verificamos se o valor absoluto dela é menor que 1 no intervalo considerado [1, 2]:
Vamos calcular
no intervalo [1, 2]:
- Para
:
- Para
:
Como em todo o intervalo [1, 2],
, isso garante que a função
escolhida vai fazer o método convergir para o zero da função
.
Resposta
Uma outra função de iteração que garante a convergência do método do ponto fixo é: