[2] Considere o problema de encontrar um zero da função no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
b) Encontre outra função de iteração que garanta a convergência do método.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar outra função de iteração usando o método do ponto fixo para achar um zero da função no intervalo [1, 2]. A matéria aqui é o método do ponto fixo, que basicamente tenta encontrar um valor de que satisfaça . Para garantir que o método funcione e converja para a solução, precisamos escolher uma função adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que possamos isolar em um dos lados. A equação original é:
Podemos rearranjar isso para isolar :
Então, uma função de iteração possível é:
Essa função basicamente diz que, para encontrar o próximo valor de , você tira a raiz cúbica de .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa escolha de garante a convergência do método do ponto fixo. Para isso, olhamos para a derivada de e verificamos se o valor absoluto dela é menor que 1 no intervalo considerado [1, 2]:
Vamos calcular no intervalo [1, 2]:
  • Para :
  • Para :
Como em todo o intervalo [1, 2], , isso garante que a função escolhida vai fazer o método convergir para o zero da função .

Resposta

Uma outra função de iteração que garante a convergência do método do ponto fixo é:

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[2] Considere o problema de encontrar um zero da função no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
a) Por que não podemos utilizar como função de iteração com garantia de convergência?
(1) Considere e dois números reais .
a) Reescreva o problema de calcular como o problema de encontrar o zero de uma função .
[2] Considere o problema de encontrar um zero da função no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
c) Use a função determinada no item b) para determinar a raiz de no intervalo [1,2]. Use , critério de parada casas depois da vírgula e arredondamento.
(4) Um oficial de artilharia deseja disparar um canhão em uma brigada inimiga acampada a metros de distância. Para tanto, precisa determinar a que ângulo em relação à horizontal o canhão deve ser elevado. Sabe-se que é solução da equação:
em que é a magnitude da velocidade inicial da bola de canhão e é a magnitude da aceleração da gravidade. Use o método de Newton para determinar com critério de parada usando e estimativa inicial .