[2] Considere o problema de encontrar um zero da função f(x)=x^3-x-1 no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
b) Encontre outra função de iteração que garanta a convergência do método.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar outra função de iteração usando o método do ponto fixo para achar um zero da função no intervalo [1, 2]. A matéria aqui é o método do ponto fixo, que basicamente tenta encontrar um valor de que satisfaça . Para garantir que o método funcione e converja para a solução, precisamos escolher uma função adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação x^3 - x - 1 = 0 de uma forma que possamos isolar x^3 = x + 1 x = raiz[3]x + 1 em um dos lados. A equação original é:
g(x) = raiz[3]x + 1
Podemos rearranjar isso para isolar :
Então, uma função de iteração possível é:
Essa função basicamente diz que, para encontrar o próximo valor de , você tira a raiz cúbica de .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa escolha de g(x) = (x + 1)^1/3 g'(x) = 13(x + 1)^-2/3 garante a convergência do método do ponto fixo. Para isso, olhamos para a derivada de g'(1) = 13(1 + 1)^-2/3 = 13(2)^-2/3 approx 0.210 e verificamos se o valor absoluto dela é menor que 1 no intervalo considerado [1, 2]:
g'(2) = 13(2 + 1)^-2/3 = 13(3)^-2/3 approx 0.169
Vamos calcular no intervalo [1, 2]:
  • Para :
  • Para :
Como em todo o intervalo [1, 2], , isso garante que a função escolhida vai fazer o método convergir para o zero da função .

Resposta

Uma outra função de iteração que garante a convergência do método do ponto fixo é:
g(x) = raiz[3]x + 1

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