[2] Considere o problema de encontrar um zero da função f(x)=x^3-x-1 no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
c) Use a função determinada no item b) para determinar a raiz de f(x) no intervalo [1,2]. Use x0=1, critério de parada |xk+1-xk|<10^-2, 4 casas depois da vírgula e arredondamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma raiz da função no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo. Para isso, vamos precisar entender como funciona esse método, escolher uma função adequada para a iteração, e aplicar a regra de parada que é . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a função x = raiz[3]x + 1 de uma maneira que possamos isolar g(x) = raiz[3]x + 1 em um dos lados, formando assim uma função tal que . Isso nos permitirá aplicar o método do ponto fixo. Uma forma comum de fazer isso é reescrever a equação como:
Então, nossa função será:

Passo 3

Agora, vamos começar as iterações do método do ponto fixo. Vamos iniciar com x1 = g(x0) = raiz[3]1 + 1 = raiz[3]2 approx 1.2599 . A cada passo, calculamos |x1 - x0| = |1.2599 - 1| = 0.2599 > 0.01 e verificamos a diferença para ver se já atendemos ao critério de parada.
Iteração 1:
Como a diferença é maior que 0.01, continuamos.

Passo 4

Iteração 2:
x2 = g(x1) = raiz[3]1.2599 + 1 = raiz[3]2.2599 approx 1.3030
|x2 - x1| = |1.3030 - 1.2599| = 0.0431 > 0.01
Ainda não alcançamos o critério. Vamos para a próxima.

Passo 5

Iteração 3:
x3 = g(x2) = raiz[3]1.3030 + 1 = raiz[3]2.3030 approx 1.3035
|x3 - x2| = |1.3035 - 1.3030| = 0.0005 < 0.01
Agora, a diferença é menor que 0.01, então podemos parar.

Resposta

A raiz de no intervalo [1, 2] é aproximadamente .

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