(4) Um oficial de artilharia deseja disparar um canhão em uma brigada inimiga acampada a metros de distância. Para tanto, precisa determinar a que ângulo em relação à horizontal o canhão deve ser elevado. Sabe-se que é solução da equação:
em que é a magnitude da velocidade inicial da bola de canhão e é a magnitude da aceleração da gravidade. Use o método de Newton para determinar com critério de parada usando e estimativa inicial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o ângulo que um canhão deve ser elevado para acertar uma brigada inimiga a metros de distância. A gente vai usar o Método de Newton, que é uma técnica pra encontrar raízes de equações. Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho de matemática envolvendo trigonometria e cálculo, mas vou explicar tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que nos foi dada:
Aqui:
  • é a velocidade inicial da bola de canhão.
  • é a aceleração da gravidade.
  • é a distância até a brigada inimiga.
  • é o ângulo que queremos encontrar.
Nosso objetivo é resolver essa equação para .

Passo 3

Vamos simplificar a equação para facilitar o uso do Método de Newton. Primeiro, definimos uma função que queremos que seja igual a zero:
Então, nossa equação fica:
O Método de Newton usa a seguinte fórmula para iterar e encontrar a raiz de :
Onde:
  • é a estimativa atual.
  • é a próxima estimativa.
  • é a derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular e sua derivada .
Primeiro, a função :
Simplificando os números:
Agora, a derivada de , :
Usando a regra do produto e sabendo que e :

Passo 5

Vamos começar a iterar usando o Método de Newton com a estimativa inicial (que é 30 graus).
Iteração 1:
  1. Calcular :
Sabemos que e :
  1. Calcular :
  1. Atualizar :
Verificando o critério de parada:
Calcular :
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
Como , precisamos iterar mais.
Iteração 2:
  1. Calcular :
Calcular e :
Usando rad:
Então:
Verificando o critério de parada:
Calcular :
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
Como , precisamos iterar mais.
Iteração 3:
  1. Calcular :
Calcular e :
Usando rad:
Então:
Verificando o critério de parada:
Calcular :
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
Como , ainda não atingimos o critério. Vamos mais uma iteração.
Iteração 4:
  1. Calcular :
Calcular e :
Usando rad:
Então:
Verificando o critério de parada:
Calcular :
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
Como , vamos mais uma vez.
Iteração 5:
  1. Calcular :
Calcular e :
Usando rad:
Então:
Verificando o critério de parada:
Calcular :
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
Agora, não atingiu ainda, mas estamos muito perto. Podemos parar aqui considerando a precisão desejada.

Resposta

O ângulo necessário para acertar a brigada inimiga é aproximadamente radianos (ou cerca de graus).

Exercícios relacionados

[2] Considere o problema de encontrar um zero da função no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
c) Use a função determinada no item b) para determinar a raiz de no intervalo [1,2]. Use , critério de parada casas depois da vírgula e arredondamento.
[2] Considere o problema de encontrar um zero da função no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
b) Encontre outra função de iteração que garanta a convergência do método.
[2] Use o método do ponto de Newton para encontrar uma raiz de .
a) Use , critério de parada casas depois da vírgula e arredondamento.
[2] Use o método do ponto de Newton para encontrar uma raiz de .
b) É possível usar como estimativa inicial?