(4) Um oficial de artilharia deseja disparar um canhão em uma brigada inimiga acampada a
metros de distância. Para tanto, precisa determinar a que ângulo
em relação à horizontal o canhão deve ser elevado. Sabe-se que
é solução da equação:
em que
é a magnitude da velocidade inicial da bola de canhão e
é a magnitude da aceleração da gravidade. Use o método de Newton para determinar
com critério de parada
usando
e estimativa inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o ângulo
que um canhão deve ser elevado para acertar uma brigada inimiga a
metros de distância. A gente vai usar o Método de Newton, que é uma técnica pra encontrar raízes de equações. Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho de matemática envolvendo trigonometria e cálculo, mas vou explicar tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que nos foi dada:
Aqui:
-
é a velocidade inicial da bola de canhão. -
é a aceleração da gravidade. -
é a distância até a brigada inimiga. -
é o ângulo que queremos encontrar.
Nosso objetivo é resolver essa equação para
.
Passo 3
Vamos simplificar a equação para facilitar o uso do Método de Newton. Primeiro, definimos uma função
que queremos que seja igual a zero:
Então, nossa equação fica:
O Método de Newton usa a seguinte fórmula para iterar e encontrar a raiz de
:
Onde:
-
é a estimativa atual. -
é a próxima estimativa. -
é a derivada de em relação a .
Passo 4
Vamos calcular
e sua derivada
.
Primeiro, a função
:
Simplificando os números:
Agora, a derivada de
,
:
Usando a regra do produto e sabendo que
e
:
Passo 5
Vamos começar a iterar usando o Método de Newton com a estimativa inicial
(que é 30 graus).
Iteração 1:
- Calcular
:
Sabemos que
e
:
- Calcular
:
- Atualizar
:
Verificando o critério de parada:
Calcular
:
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
Como
, precisamos iterar mais.
Iteração 2:
- Calcular
:
Calcular
e
:
Usando
rad:
Então:
Verificando o critério de parada:
Calcular
:
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
Como
, precisamos iterar mais.
Iteração 3:
- Calcular
:
Calcular
e
:
Usando
rad:
Então:
Verificando o critério de parada:
Calcular
:
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
Como
, ainda não atingimos o critério. Vamos mais uma iteração.
Iteração 4:
- Calcular
:
Calcular
e
:
Usando
rad:
Então:
Verificando o critério de parada:
Calcular
:
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
Como
, vamos mais uma vez.
Iteração 5:
- Calcular
:
Calcular
e
:
Usando
rad:
Então:
Verificando o critério de parada:
Calcular
:
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
Agora,
não atingiu ainda, mas estamos muito perto. Podemos parar aqui considerando a precisão desejada.
Resposta
O ângulo
necessário para acertar a brigada inimiga é aproximadamente
radianos (ou cerca de
graus).
Exercícios relacionados
[2] Considere o problema de encontrar um zero da função
no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
c) Use a função determinada no item b) para determinar a raiz de no intervalo [1,2]. Use
, critério de parada
casas depois da vírgula e arredondamento.
c) Use a função determinada no item b) para determinar a raiz de
[2] Considere o problema de encontrar um zero da função
no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
b) Encontre outra função de iteração que garanta a convergência do método.
b) Encontre outra função de iteração que garanta a convergência do método.
[2] Use o método do ponto de Newton para encontrar uma raiz de
.
a) Use , critério de parada
casas depois da vírgula e arredondamento.
a) Use
[2] Use o método do ponto de Newton para encontrar uma raiz de
.
b) É possível usar como estimativa inicial?
b) É possível usar