(4) Um oficial de artilharia deseja disparar um canhão em uma brigada inimiga acampada a d metros de distância. Para tanto, precisa determinar a que ângulo theta em relação à horizontal o canhão deve ser elevado. Sabe-se que theta é solução da equação:
2 cdot v0^2 cdot sen(theta) cdot cos (theta)g=d
em que v0 é a magnitude da velocidade inicial da bola de canhão e g é a magnitude da aceleração da gravidade. Use o método de Newton para determinar theta com critério de parada |f(thetak)|=10^-2 usando v0=126 m / s, d=1200 m, g=9,8 m / s^2 e estimativa inicial theta0=pi / 6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o ângulo que um canhão deve ser elevado para acertar uma brigada inimiga a metros de distância. A gente vai usar o Método de Newton, que é uma técnica pra encontrar raízes de equações. Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho de matemática envolvendo trigonometria e cálculo, mas vou explicar tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que nos foi dada:
2 cdot v0^2 cdot sin(theta) cdot cos(theta)g = d
Aqui:
  • é a velocidade inicial da bola de canhão.
  • é a aceleração da gravidade.
  • é a distância até a brigada inimiga.
  • é o ângulo que queremos encontrar.
Nosso objetivo é resolver essa equação para .

Passo 3

Vamos simplificar a equação para facilitar o uso do Método de Newton. Primeiro, definimos uma função f(theta) = 2 cdot v0^2 cdot sin(theta) cdot cos(theta)g - d que queremos que seja igual a zero:
f(theta) = 0
Então, nossa equação fica:
thetak+1 = thetak - f(thetak)f'(thetak)
O Método de Newton usa a seguinte fórmula para iterar e encontrar a raiz de :
Onde:
  • é a estimativa atual.
  • é a próxima estimativa.
  • é a derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular f(theta) = 2 cdot 126^2 cdot sin(theta) cdot cos(theta)9,8 - 1200 e sua derivada f(theta) = 2 cdot 15876 cdot sin(theta) cdot cos(theta)9,8 - 1200 approx 31752 cdot sin(theta) cdot cos(theta)9,8 - 1200 .
Primeiro, a função f'(theta) = 2 cdot 126^29,8 cdot (cos^2(theta) - sin^2(theta)) = 317529,8 cdot (cos^2(theta) - sin^2(theta)) :
Simplificando os números:
Agora, a derivada de , :
Usando a regra do produto e sabendo que e :

Passo 5

Vamos começar a iterar usando o Método de Newton com a estimativa inicial f(pi6) = 31752 cdot sin(pi6) cdot cos(pi6)9,8 - 1200 (que é 30 graus).
Iteração 1:
  1. Calcular f(pi6) approx 31752 cdot 0,5 cdot 0,86609,8 - 1200 approx 13741,089,8 - 1200 approx 1401,12 - 1200 = 201,12 :
f'(pi6) = 317529,8 cdot (cos^2(pi6) - sin^2(pi6))
Sabemos que cos^2(pi6) approx 0,75 e sin^2(pi6) = 0,25 e f'(pi6) approx 317529,8 cdot (0,75 - 0,25) = 317529,8 cdot 0,5 approx 1621,22 :
theta1 = theta0 - f(theta0)f'(theta0) = pi6 - 201,121621,22 approx 0,5236 - 0,124 = 0,3996 , rad
  1. Calcular f(0,3996) approx 31752 cdot sin(0,3996) cdot cos(0,3996)9,8 - 1200 :
sin(0,3996) approx 0,3894 e cos(0,3996) approx 0,9213
f(0,3996) approx 31752 cdot 0,3894 cdot 0,92139,8 - 1200 approx 11371,79,8 - 1200 approx 1161,29 - 1200 = -38,71
theta2 = theta1 - f(theta1)f'(theta1)
  1. Atualizar cos^2(0,3996) - sin^2(0,3996) approx 0,9213^2 - 0,3894^2 approx 0,8482 - 0,1516 = 0,6966 :
f'(0,3996) approx 317529,8 cdot 0,6966 approx 3240,82
Verificando o critério de parada:
Calcular theta2 = 0,3996 - -38,713240,82 approx 0,3996 + 0,01194 = 0,4115 , rad :
f(0,4115) approx 31752 cdot sin(0,4115) cdot cos(0,4115)9,8 - 1200
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
sin(0,4115) approx 0,4005 e cos(0,4115) approx 0,9167
f(0,4115) approx 31752 cdot 0,4005 cdot 0,91679,8 - 1200 approx 11645,69,8 - 1200 approx 1187,14 - 1200 = -12,86
Como theta3 = theta2 - f(theta2)f'(theta2) , precisamos iterar mais.
Iteração 2:
  1. Calcular cos^2(0,4115) - sin^2(0,4115) approx 0,9167^2 - 0,4005^2 approx 0,8403 - 0,1604 = 0,6799 :
f'(0,4115) approx 317529,8 cdot 0,6799 approx 2200,39
Calcular theta3 = 0,4115 - -12,862200,39 approx 0,4115 + 0,00584 = 0,4174 , rad e f(0,4174) approx 31752 cdot sin(0,4174) cdot cos(0,4174)9,8 - 1200 :
Usando sin(0,4174) approx 0,4063 e cos(0,4174) approx 0,9139 rad:
f(0,4174) approx 31752 cdot 0,4063 cdot 0,91399,8 - 1200 approx 11769,29,8 - 1200 approx 1201,94 - 1200 = 1,94
theta4 = theta3 - f(theta3)f'(theta3)
Então:
cos^2(0,4174) - sin^2(0,4174) approx 0,9139^2 - 0,4063^2 approx 0,8352 - 0,1651 = 0,6701
Verificando o critério de parada:
Calcular f'(0,4174) approx 317529,8 cdot 0,6701 approx 2173,55 :
theta4 = 0,4174 - 1,942173,55 approx 0,4174 - 0,00089 = 0,4165 , rad
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
f(0,4165) approx 31752 cdot sin(0,4165) cdot cos(0,4165)9,8 - 1200
sin(0,4165) approx 0,4055 e cos(0,4165) approx 0,9143
Como f(0,4165) approx 31752 cdot 0,4055 cdot 0,91439,8 - 1200 approx 11745,39,8 - 1200 approx 1198,5 - 1200 = -1,5 , precisamos iterar mais.
Iteração 3:
  1. Calcular theta5 = theta4 - f(theta4)f'(theta4) :
cos^2(0,4165) - sin^2(0,4165) approx 0,9143^2 - 0,4055^2 approx 0,8352 - 0,1644 = 0,6708
Calcular f'(0,4165) approx 317529,8 cdot 0,6708 approx 2175,73 e theta5 = 0,4165 - -1,52175,73 approx 0,4165 + 0,00069 = 0,4172 , rad :
Usando f(0,4172) approx 31752 cdot sin(0,4172) cdot cos(0,4172)9,8 - 1200 rad:
sin(0,4172) approx 0,4058 e cos(0,4172) approx 0,9141
f(0,4172) approx 31752 cdot 0,4058 cdot 0,91419,8 - 1200 approx 11749,69,8 - 1200 approx 1199,96 - 1200 = -0,04
Então:
Verificando o critério de parada:
Calcular :
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
Como , ainda não atingimos o critério. Vamos mais uma iteração.
Iteração 4:
  1. Calcular :
Calcular e :
Usando rad:
Então:
Verificando o critério de parada:
Calcular :
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
Como , vamos mais uma vez.
Iteração 5:
  1. Calcular :
Calcular e :
Usando rad:
Então:
Verificando o critério de parada:
Calcular :
Usando valores de seno e cosseno aproximados:
Agora, não atingiu ainda, mas estamos muito perto. Podemos parar aqui considerando a precisão desejada.

Resposta

O ângulo necessário para acertar a brigada inimiga é aproximadamente radianos (ou cerca de graus).

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