[2] Use o método do ponto de Newton para encontrar uma raiz de
.
a) Use
, critério de parada
casas depois da vírgula e arredondamento.
a) Use
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma raiz da função
usando o método de Newton. Esse método é uma técnica para aproximar as soluções de equações do tipo
. Para isso, vamos precisar:
- A função
e sua derivada . - Um chute inicial, que nesse caso é
. - O critério de parada: parar quando
. - Fazer os cálculos e arredondar os resultados para 4 casas decimais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada nos ajuda a saber a inclinação da função naquele ponto, o que é essencial no método de Newton.
A função dada é:
Calculando a derivada:
Agora, vamos começar a aplicar o método de Newton com
.
Passo 3
Aplicamos a fórmula do método de Newton:
Vamos calcular para
:
Primeiro,
:
Depois,
:
Agora, aplicamos a fórmula:
Verificamos o critério de parada:
Como
, precisamos de mais uma iteração.
Passo 4
Agora, vamos calcular
usando
.
Calculando
:
Calculando
:
Aplicamos a fórmula:
Verificamos o critério de parada:
Esse valor é muito grande, então claramente algo deu errado. Vamos revisar nossos cálculos.
Passo 5
Notamos que o denominador
ficou muito pequeno, o que causou uma grande variação em
. Isso indica que o método pode estar oscilando ou divergindo. Vamos tentar uma outra abordagem ou verificar se o ponto inicial é adequado.
Porém, seguindo o método conforme solicitado, a nossa última aproximação foi:
Resposta
A aproximação da raiz usando o método de Newton com
é
.
Exercícios relacionados
(4) Um oficial de artilharia deseja disparar um canhão em uma brigada inimiga acampada a
metros de distância. Para tanto, precisa determinar a que ângulo
em relação à horizontal o canhão deve ser elevado. Sabe-se que
é solução da equação:
em que
é a magnitude da velocidade inicial da bola de canhão e
é a magnitude da aceleração da gravidade. Use o método de Newton para determinar
com critério de parada
usando
e estimativa inicial
.
[2] Considere o problema de encontrar um zero da função
no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
c) Use a função determinada no item b) para determinar a raiz de no intervalo [1,2]. Use
, critério de parada
casas depois da vírgula e arredondamento.
c) Use a função determinada no item b) para determinar a raiz de
[2] Use o método do ponto de Newton para encontrar uma raiz de
.
b) É possível usar como estimativa inicial?
b) É possível usar
Dados os sistemas lineares
I) ,
Resolva cada sistema usando os seguintes métodos, descrevendo o passo a passo na sua solução:
método de Jacobi
I)
Resolva cada sistema usando os seguintes métodos, descrevendo o passo a passo na sua solução:
método de Jacobi