[2] Use o método do ponto de Newton para encontrar uma raiz de f(x)=-x^3-cos (x).
a) Use x0=1, critério de parada |f(xk)|<10^-2, 4 casas depois da vírgula e arredondamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma raiz da função usando o método de Newton. Esse método é uma técnica para aproximar as soluções de equações do tipo . Para isso, vamos precisar:
  • A função e sua derivada .
  • Um chute inicial, que nesse caso é .
  • O critério de parada: parar quando .
  • Fazer os cálculos e arredondar os resultados para 4 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f(x) = -x^3 - cos(x) . A derivada nos ajuda a saber a inclinação da função naquele ponto, o que é essencial no método de Newton.
A função dada é:
f'(x) = -3x^2 + sin(x)
Calculando a derivada:
Agora, vamos começar a aplicar o método de Newton com .

Passo 3

Aplicamos a fórmula do método de Newton:
xk+1 = xk - f(xk)f'(xk)
Vamos calcular para f(1) = -1^3 - cos(1) = -1 - cos(1) approx -1 - 0.5403 = -1.5403 :
Primeiro, f'(1) = -3(1)^2 + sin(1) = -3 + sin(1) approx -3 + 0.8415 = -2.1585 :
x1 = 1 - -1.5403-2.1585 approx 1 - 0.7133 = 0.2867
Depois, |f(0.2867)| = |-0.2867^3 - cos(0.2867)| approx |-0.0237 - 0.9600| = |-0.9837| = 0.9837 :
Agora, aplicamos a fórmula:
Verificamos o critério de parada:
Como , precisamos de mais uma iteração.

Passo 4

Agora, vamos calcular f(0.2867) = -(0.2867)^3 - cos(0.2867) approx -0.0237 - 0.9600 = -0.9837 usando f'(0.2867) = -3(0.2867)^2 + sin(0.2867) approx -3(0.0824) + 0.2823 = -0.2472 + 0.2823 = 0.0351 .
Calculando x2 = 0.2867 - -0.98370.0351 approx 0.2867 + 28.0285 = 28.3152 :
|f(28.3152)|
Calculando :
Aplicamos a fórmula:
Verificamos o critério de parada:
Esse valor é muito grande, então claramente algo deu errado. Vamos revisar nossos cálculos.

Passo 5

Notamos que o denominador ficou muito pequeno, o que causou uma grande variação em . Isso indica que o método pode estar oscilando ou divergindo. Vamos tentar uma outra abordagem ou verificar se o ponto inicial é adequado.
Porém, seguindo o método conforme solicitado, a nossa última aproximação foi:

Resposta

A aproximação da raiz usando o método de Newton com é .

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