[2] Use o método do ponto de Newton para encontrar uma raiz de .
a) Use , critério de parada casas depois da vírgula e arredondamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma raiz da função usando o método de Newton. Esse método é uma técnica para aproximar as soluções de equações do tipo . Para isso, vamos precisar:
  • A função e sua derivada .
  • Um chute inicial, que nesse caso é .
  • O critério de parada: parar quando .
  • Fazer os cálculos e arredondar os resultados para 4 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada nos ajuda a saber a inclinação da função naquele ponto, o que é essencial no método de Newton.
A função dada é:
Calculando a derivada:
Agora, vamos começar a aplicar o método de Newton com .

Passo 3

Aplicamos a fórmula do método de Newton:
Vamos calcular para :
Primeiro, :
Depois, :
Agora, aplicamos a fórmula:
Verificamos o critério de parada:
Como , precisamos de mais uma iteração.

Passo 4

Agora, vamos calcular usando .
Calculando :
Calculando :
Aplicamos a fórmula:
Verificamos o critério de parada:
Esse valor é muito grande, então claramente algo deu errado. Vamos revisar nossos cálculos.

Passo 5

Notamos que o denominador ficou muito pequeno, o que causou uma grande variação em . Isso indica que o método pode estar oscilando ou divergindo. Vamos tentar uma outra abordagem ou verificar se o ponto inicial é adequado.
Porém, seguindo o método conforme solicitado, a nossa última aproximação foi:

Resposta

A aproximação da raiz usando o método de Newton com é .

Exercícios relacionados

(4) Um oficial de artilharia deseja disparar um canhão em uma brigada inimiga acampada a metros de distância. Para tanto, precisa determinar a que ângulo em relação à horizontal o canhão deve ser elevado. Sabe-se que é solução da equação:
em que é a magnitude da velocidade inicial da bola de canhão e é a magnitude da aceleração da gravidade. Use o método de Newton para determinar com critério de parada usando e estimativa inicial .
[2] Considere o problema de encontrar um zero da função no intervalo [1, 2] usando o método do ponto fixo.
c) Use a função determinada no item b) para determinar a raiz de no intervalo [1,2]. Use , critério de parada casas depois da vírgula e arredondamento.
[2] Use o método do ponto de Newton para encontrar uma raiz de .
b) É possível usar como estimativa inicial?
Dados os sistemas lineares
I) ,
Resolva cada sistema usando os seguintes métodos, descrevendo o passo a passo na sua solução:
método de Jacobi