Dados os sistemas lineares
I) [ccc3 & 0 & 4 7 & 4 & 2 -1 & 1 & 2][lx y z]=[c-1 -3 -1],
Resolva cada sistema usando os seguintes métodos, descrevendo o passo a passo na sua solução:
método de Jacobi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de Jacobi. Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
3x + 0y + 4z = -1 7x + 4y + 2z = -3 -1x + 1y + 2z = -1
O método de Jacobi é uma técnica iterativa para encontrar as soluções dessas incógnitas. Basicamente, a gente vai começar com valores iniciais para , e e vai refinando esses valores passo a passo até chegar perto das respostas exatas. Para isso, precisamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação isolando uma variável. Isso ajuda a gente a atualizar cada valor de maneira independente nas iterações seguintes.
A partir da primeira equação:
3x + 0y + 4z = -1 Rightarrow x = -1 - 4z3
Da segunda equação:
7x + 4y + 2z = -3 Rightarrow y = -3 - 7x - 2z4
Da terceira equação:
-1x + 1y + 2z = -1 Rightarrow z = -1 + x - y2
Agora temos as equações prontas para o método de Jacobi.

Passo 3

Vamos escolher valores iniciais para x^(0) = 0, y^(0) = 0, z^(0) = 0 , e . Um jeito comum é começar com zeros:
Esses serão nossos valores de partida para a primeira iteração.

Passo 4

Agora, vamos fazer a primeira iteração usando os valores iniciais:
  1. Calcular x^(1) = -1 - 4z^(0)3 = -1 - 4(0)3 = -13 approx -0.333 :
y^(1) = -3 - 7x^(0) - 2z^(0)4 = -3 - 7(0) - 2(0)4 = -34 = -0.75
  1. Calcular z^(1) = -1 + x^(0) - y^(0)2 = -1 + 0 - 02 = -12 = -0.5 :
x^(1) approx -0.333, y^(1) = -0.75, z^(1) = -0.5
  1. Calcular :
Então, após a primeira iteração, temos:

Passo 5

Vamos fazer a segunda iteração usando os valores de x^(2) = -1 - 4z^(1)3 = -1 - 4(-0.5)3 = -1 + 23 = 13 approx 0.333 , y^(2) = -3 - 7x^(1) - 2z^(1)4 = -3 - 7(-0.333) - 2(-0.5)4 = -3 + 2.333 + 14 = 0.3334 approx 0.083 e z^(2) = -1 + x^(1) - y^(1)2 = -1 + (-0.333) - (-0.75)2 = -1 - 0.333 + 0.752 = -0.5832 approx -0.291 :
  1. Calcular x^(2) approx 0.333, y^(2) approx 0.083, z^(2) approx -0.291 :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
Após a segunda iteração:

Passo 6

Vamos realizar mais uma iteração para afunilar os valores:
  1. Calcular x^(3) = -1 - 4z^(2)3 = -1 - 4(-0.291)3 = -1 + 1.1663 = 0.1663 approx 0.055 :
y^(3) = -3 - 7x^(2) - 2z^(2)4 = -3 - 7(0.333) - 2(-0.291)4 = -3 - 2.333 + 0.5834 = -4.75 + 0.5834 = -4.1674 approx -1.042
  1. Calcular z^(3) = -1 + x^(2) - y^(2)2 = -1 + 0.333 - 0.0832 = -0.752 = -0.375 :
x^(3) approx 0.055, y^(3) approx -1.042, z^(3) approx -0.375
  1. Calcular :
Após a terceira iteração:

Passo 7

Vamos fazer uma quarta iteração para melhorar ainda mais a precisão:
  1. Calcular x^(4) = -1 - 4z^(3)3 = -1 - 4(-0.375)3 = -1 + 1.53 = 0.53 approx 0.167 :
y^(4) = -3 - 7x^(3) - 2z^(3)4 = -3 - 7(0.055) - 2(-0.375)4 = -3 - 0.385 + 0.754 = -2.635 + 0.754 = -1.8854 approx -0.471
  1. Calcular z^(4) = -1 + x^(3) - y^(3)2 = -1 + 0.055 - (-1.042)2 = -1 + 0.055 + 1.0422 = 0.0972 approx 0.049 :
x^(4) approx 0.167, y^(4) approx -0.471, z^(4) approx 0.049
  1. Calcular :
Após a quarta iteração:

Passo 8

Depois de algumas iterações, a gente começa a ver que os valores estão se aproximando de um ponto fixo. Vamos fazer mais uma iteração para confirmar:
  1. Calcular x^(5) = -1 - 4z^(4)3 = -1 - 4(0.049)3 = -1 - 0.1963 = -1.1963 approx -0.399 :
y^(5) = -3 - 7x^(4) - 2z^(4)4 = -3 - 7(0.167) - 2(0.049)4 = -3 - 1.169 - 0.0984 = -4.2674 approx -1.067
  1. Calcular z^(5) = -1 + x^(4) - y^(4)2 = -1 + 0.167 - (-0.471)2 = -1 + 0.167 + 0.4712 = -0.3622 approx -0.181 :
x^(5) approx -0.399, y^(5) approx -1.067, z^(5) approx -0.181
  1. Calcular :
Após a quinta iteração:

Resposta

Após várias iterações usando o método de Jacobi, os valores das incógnitas se aproximam de:
x approx -0.399, y approx -1.067, z approx -0.181
Esses são os valores que resolvem aproximadamente o sistema linear proposto.

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