Dados os sistemas lineares
I) ,
Resolva cada sistema usando os seguintes métodos, descrevendo o passo a passo na sua solução:
método de Jacobi
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de Jacobi. Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
O método de Jacobi é uma técnica iterativa para encontrar as soluções dessas incógnitas. Basicamente, a gente vai começar com valores iniciais para , e e vai refinando esses valores passo a passo até chegar perto das respostas exatas. Para isso, precisamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever cada equação isolando uma variável. Isso ajuda a gente a atualizar cada valor de maneira independente nas iterações seguintes.
A partir da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Agora temos as equações prontas para o método de Jacobi.
Passo 3
Vamos escolher valores iniciais para , e . Um jeito comum é começar com zeros:
Esses serão nossos valores de partida para a primeira iteração.
Passo 4
Agora, vamos fazer a primeira iteração usando os valores iniciais:
Calcular :
Calcular :
Calcular :
Então, após a primeira iteração, temos:
Passo 5
Vamos fazer a segunda iteração usando os valores de , e :
Calcular :
Calcular :
Calcular :
Após a segunda iteração:
Passo 6
Vamos realizar mais uma iteração para afunilar os valores:
Calcular :
Calcular :
Calcular :
Após a terceira iteração:
Passo 7
Vamos fazer uma quarta iteração para melhorar ainda mais a precisão:
Calcular :
Calcular :
Calcular :
Após a quarta iteração:
Passo 8
Depois de algumas iterações, a gente começa a ver que os valores estão se aproximando de um ponto fixo. Vamos fazer mais uma iteração para confirmar:
Calcular :
Calcular :
Calcular :
Após a quinta iteração:
Resposta
Após várias iterações usando o método de Jacobi, os valores das incógnitas se aproximam de:
Esses são os valores que resolvem aproximadamente o sistema linear proposto.