Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do Gauss Seidel, com ou máximo 4 iterações. (Caso seja necessário, use o critério de convergência para rearranjar as equações).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois sistemas lineares (I) e (II) e precisamos encontrar o vetor solução para cada um deles usando o método de Gauss-Seidel. A gente vai parar quando a diferença entre as iterações for menor que ou após no máximo 4 iterações. Para isso, vamos precisar entender como o método de Gauss-Seidel funciona, que basicamente resolve cada equação para uma variável específica e usa os valores mais recentes disponíveis para as outras variáveis. Vamos começar com o sistema (I).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema (I) de maneira que cada equação esteja resolvida para uma das variáveis:
Vamos isolar cada variável:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel começando com o chute inicial .

Passo 3

Iteração 1:
Vamos calcular , , e usando os valores de :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Agora, temos .

Passo 4

Iteração 2:
Usando , vamos calcular :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Verificamos a diferença entre e . Como ainda não alcançamos e estamos no 2º passo, vamos para a próxima iteração.

Passo 5

Iteração 3:
Usando , calculamos :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
A diferença entre e ainda é grande, e já fizemos 3 iterações. Vamos para a quarta e última iteração permitida.

Passo 6

Iteração 4:
Usando , calculamos :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Após a 4ª iteração, não atingimos a precisão desejada , então paramos aqui.

Resposta

Após 4 iterações do método de Gauss-Seidel, a aproximação da solução para o sistema (I) é:

Nota: O processo acima demonstrou que o método de Gauss-Seidel não convergiu para o sistema (I) dentro do número limitado de iterações e com a precisão solicitada. Pode ser necessário rearranjar as equações ou verificar a convergência para obter uma solução mais precisa.

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere .
a) Com
b) Com .
c) Com
[3] A partir da tabela abaixo, aproxime o conjunto de pontos pelo método dos mínimos quadrados considerando
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
5.02 5.21 6.49 9.54 16.02 24.53
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Jacobi, com ou no máximo 8 iterações. Considere
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Gauss Seidel , com o ou no máximo 8 iterações. Considere