Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do Gauss Seidel, com ou máximo 4 iterações. (Caso seja necessário, use o critério de convergência para rearranjar as equações).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois sistemas lineares (I) e (II) e precisamos encontrar o vetor solução para cada um deles usando o método de Gauss-Seidel. A gente vai parar quando a diferença entre as iterações for menor que ou após no máximo 4 iterações. Para isso, vamos precisar entender como o método de Gauss-Seidel funciona, que basicamente resolve cada equação para uma variável específica e usa os valores mais recentes disponíveis para as outras variáveis. Vamos começar com o sistema (I).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema (I) de maneira que cada equação esteja resolvida para uma das variáveis:
Vamos isolar cada variável:
Para :
Para :
Para :
Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel começando com o chute inicial .
Passo 3
Iteração 1:
Vamos calcular , , e usando os valores de :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Agora, temos .
Passo 4
Iteração 2:
Usando , vamos calcular :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Verificamos a diferença entre e . Como ainda não alcançamos e estamos no 2º passo, vamos para a próxima iteração.
Passo 5
Iteração 3:
Usando , calculamos :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
A diferença entre e ainda é grande, e já fizemos 3 iterações. Vamos para a quarta e última iteração permitida.
Passo 6
Iteração 4:
Usando , calculamos :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Após a 4ª iteração, não atingimos a precisão desejada , então paramos aqui.
Resposta
Após 4 iterações do método de Gauss-Seidel, a aproximação da solução para o sistema (I) é:
Nota: O processo acima demonstrou que o método de Gauss-Seidel não convergiu para o sistema (I) dentro do número limitado de iterações e com a precisão solicitada. Pode ser necessário rearranjar as equações ou verificar a convergência para obter uma solução mais precisa.