Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere .
a) Com
b) Com .
c) Com
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa que ajuda a encontrar as soluções de sistemas lineares. Para começar, precisamos verificar se dá para usar o Gauss-Seidel nesse sistema. Nosso sistema é:
Vamos precisar das fórmulas do método de Gauss-Seidel e uma estimativa inicial para começar as iterações, que nesse caso é e , com uma tolerância de erro .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o método de Gauss-Seidel pode ser aplicado. Uma condição comum para isso é que a matriz do sistema seja diagonalmente dominante. Vamos analisar:
Para a primeira equação:
O coeficiente de é 4, e a soma dos outros coeficientes na mesma linha é 1. Como , está ok.
Para a segunda equação:
O coeficiente de é 3, e a soma dos outros coeficientes na mesma linha é 1. Como , também está ok.
Como ambas as linhas são diagonalmente dominantes, podemos usar o método de Gauss-Seidel.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar as equações para isolar cada variável:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Essas fórmulas vão nos ajudar nas iterações do método.
Passo 4
Vamos começar as iterações com os valores iniciais e .
**Iteração 1:**
Calcular :
Calcular :
Passo 5
**Iteração 2:**
Calcular :
Calcular :
Passo 6
Vamos verificar a diferença entre as iterações para ver se atingimos a tolerância .
Como ambas as diferenças são menores que 0,4, podemos parar as iterações.