Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere .
a) Com
b) Com varepsilon=0,3.
c) l8 x1-3 x2+2 x3=20 4 x1+11 x2-x3=33 6 x1+3 x2+12 x3=36 Com varepsilon=0,2
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa que ajuda a encontrar as soluções de sistemas lineares. Para começar, precisamos verificar se dá para usar o Gauss-Seidel nesse sistema. Nosso sistema é:
4x1 + x2 = 11 x1 + 3x2 = 7
Vamos precisar das fórmulas do método de Gauss-Seidel e uma estimativa inicial para começar as iterações, que nesse caso é e , com uma tolerância de erro .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o método de Gauss-Seidel pode ser aplicado. Uma condição comum para isso é que a matriz do sistema seja diagonalmente dominante. Vamos analisar:
Para a primeira equação:
O coeficiente de é 4, e a soma dos outros coeficientes na mesma linha é 1. Como , está ok.
Para a segunda equação:
O coeficiente de é 3, e a soma dos outros coeficientes na mesma linha é 1. Como , também está ok.
Como ambas as linhas são diagonalmente dominantes, podemos usar o método de Gauss-Seidel.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar as equações para isolar cada variável:
Da primeira equação:
x1 = 11 - x24
Da segunda equação:
x2 = 7 - x13
Essas fórmulas vão nos ajudar nas iterações do método.
Passo 4
Vamos começar as iterações com os valores iniciais x1^1 = 11 - x2^04 = 11 - 04 = 2,75 e x2^1 = 7 - x1^13 = 7 - 2,753 = 4,253 approx 1,4167 .