Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere com xi^0=0 forall i.
a) l4 x1+x2=11 x1+3 x2=7 Com varepsilon=0,4
b) l10 x1+x2+x3=12 2 x1+10 x2+x3=13 2 x1+2 x2+10 x3=14 Com varepsilon=0,3.
c) l8 x1-3 x2+2 x3=20 4 x1+11 x2-x3=33 6 x1+3 x2+12 x3=36 Com varepsilon=0,2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa que ajuda a encontrar as soluções de sistemas lineares. Para começar, precisamos verificar se dá para usar o Gauss-Seidel nesse sistema. Nosso sistema é:
4x1 + x2 = 11 x1 + 3x2 = 7
Vamos precisar das fórmulas do método de Gauss-Seidel e uma estimativa inicial para começar as iterações, que nesse caso é e , com uma tolerância de erro .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o método de Gauss-Seidel pode ser aplicado. Uma condição comum para isso é que a matriz do sistema seja diagonalmente dominante. Vamos analisar:
Para a primeira equação:
O coeficiente de é 4, e a soma dos outros coeficientes na mesma linha é 1. Como , está ok.
Para a segunda equação:
O coeficiente de é 3, e a soma dos outros coeficientes na mesma linha é 1. Como , também está ok.
Como ambas as linhas são diagonalmente dominantes, podemos usar o método de Gauss-Seidel.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar as equações para isolar cada variável:
Da primeira equação:
x1 = 11 - x24
Da segunda equação:
x2 = 7 - x13
Essas fórmulas vão nos ajudar nas iterações do método.

Passo 4

Vamos começar as iterações com os valores iniciais x1^1 = 11 - x2^04 = 11 - 04 = 2,75 e x2^1 = 7 - x1^13 = 7 - 2,753 = 4,253 approx 1,4167 .
Iteração 1:
Calcular :
Calcular :

Passo 5

Iteração 2:
Calcular x1^2 = 11 - x2^14 = 11 - 1,41674 = 9,58334 approx 2,3958 :
x2^2 = 7 - x1^23 = 7 - 2,39583 = 4,60423 approx 1,5347
Calcular :

Passo 6

Vamos verificar a diferença entre as iterações para ver se atingimos a tolerância |x1^2 - x1^1| = |2,3958 - 2,75| = 0,3542 < 0,4 .
|x2^2 - x2^1| = |1,5347 - 1,4167| = 0,1180 < 0,4
Como ambas as diferenças são menores que 0,4, podemos parar as iterações.

Resposta

As soluções aproximadas do sistema são:
x1 approx 2,396 x2 approx 1,535

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