Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere . a) Com b) Com . c) Com

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa que ajuda a encontrar as soluções de sistemas lineares. Para começar, precisamos verificar se dá para usar o Gauss-Seidel nesse sistema. Nosso sistema é: Vamos precisar das fórmulas do método de Gauss-Seidel e uma estimativa inicial para começar as iterações, que nesse caso é e , com uma tolerância de erro .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o método de Gauss-Seidel pode ser aplicado. Uma condição comum para isso é que a matriz do sistema seja diagonalmente dominante. Vamos analisar: Para a primeira equação: O coeficiente de é 4, e a soma dos outros coeficientes na mesma linha é 1. Como , está ok. Para a segunda equação: O coeficiente de é 3, e a soma dos outros coeficientes na mesma linha é 1. Como , também está ok. Como ambas as linhas são diagonalmente dominantes, podemos usar o método de Gauss-Seidel.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar as equações para isolar cada variável: Da primeira equação: Da segunda equação: Essas fórmulas vão nos ajudar nas iterações do método.

Passo 4

Vamos começar as iterações com os valores iniciais e . **Iteração 1:** Calcular : Calcular :

Passo 5

**Iteração 2:** Calcular : Calcular :

Passo 6

Vamos verificar a diferença entre as iterações para ver se atingimos a tolerância . Como ambas as diferenças são menores que 0,4, podemos parar as iterações.

Resposta

As soluções aproximadas do sistema são:

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[3] A partir da tabela abaixo, aproxime o conjunto de pontos pelo método dos mínimos quadrados considerando | | 0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | | 5.02 | 5.21 | 6.49 | 9.54 | 16.02 | 24.53 |
Para cada conjunto de dados apresentados nos itens abaixo, considere a aproximação por spline quadrática para apresentar as matrizes do sistema sendo, A : matriz de coeficientes : matriz de parâmetros das funções quadráticas b : valores de a)
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do Gauss Seidel, com ou máximo 4 iterações. (Caso seja necessário, use o critério de convergência para rearranjar as equações).