(30 Pontos) Apresente o sistema de equações normais cujo solução determina a reta que melhor aproxima f(x)=2 x^4 em [0,1] no sentido dos mínimos quadrados. Para esse problema utilize obrigatoriamente a quadratura de Gauss para realizar o cálculo de todas as integrais. Utilize 2 pontos de Gauss e comente a respeito de erros no cálculo das integrais da matriz e do vetor do sistema.

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a reta que melhor aproxima a função no intervalo usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, precisamos montar um sistema de equações normais. Além disso, vamos usar a quadratura de Gauss com 2 pontos para calcular as integrais necessárias. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o método dos mínimos quadrados. Esse método busca encontrar a melhor aproximação linear (ou seja, uma reta) para uma função, minimizando a soma dos quadrados dos erros entre a função e a aproximação.
A reta que queremos encontrar tem a forma:
y = a x + b
onde e são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 3

Para encontrar integral0^1 y cdot x , dx = a integral0^1 x^2 , dx + b integral0^1 x , dx integral0^1 y , dx = a integral0^1 x , dx + b integral0^1 1 , dx e integral0^1 2x^4 cdot x , dx = a integral0^1 x^2 , dx + b integral0^1 x , dx integral0^1 2x^4 , dx = a integral0^1 x , dx + b integral0^1 1 , dx , montamos as equações normais. Isso envolve calcular algumas integrais. As equações normais para ajuste de reta são:
Substituindo :

Passo 4

Agora, precisamos calcular as integrais envolvidas. Em vez de calcular as integrais exatamente, vamos usar a quadratura de Gauss com 2 pontos para aproximá-las.
A quadratura de Gauss com 2 pontos no intervalo integrala^b f(x) , dx approx b - a2 [ f( b - a2 xi1 + a + b2 ) + f( b - a2 xi2 + a + b2 ) ] usa os pontos integral0^1 f(x) , dx approx 12 [ f( 12 cdot (-1raiz3) + 12 ) + f( 12 cdot 1raiz3 + 12 ) ] e x1 = 12 - 12raiz3, x2 = 12 + 12raiz3 com pesos iguais a 1. Para o intervalo , fazemos uma mudança de variável.
A fórmula geral para a quadratura de Gauss no intervalo é:
Para , temos:
Simplificando os pontos:
e ambos os pesos são .

Passo 5

Vamos calcular cada integral usando a quadratura de Gauss.
Primeiro, integral0^1 2x^5 , dx approx 12 [ 2x1^5 + 2x2^5 ] :
integral0^1 x^2 , dx approx 12 [ x1^2 + x2^2 ]
Segundo, integral0^1 x , dx approx 12 [ x1 + x2 ] :
integral0^1 2x^4 , dx approx 12 [ 2x1^4 + 2x2^4 ]
Terceiro, integral0^1 1 , dx approx 12 [ 1 + 1 ] = 1 :
Quarto, :
Quinto, :

Passo 6

Vamos calcular os valores de x1 = 12 - 12raiz3 approx 0.2113 e x2 = 12 + 12raiz3 approx 0.7887 :
approx 12 [ 2(0.2113)^5 + 2(0.7887)^5 ] approx 12 [2(0.000444) + 2(0.3119)] approx 12 [0.000888 + 0.6238] approx 0.3123
approx 12 [ (0.2113)^2 + (0.7887)^2 ] approx 12 [0.0446 + 0.6222] approx 12 times 0.6668 approx 0.3334
Agora, calculamos cada integral aproximada:
  1. approx 12 [0.2113 + 0.7887] = 12 times 1 approx 0.5 :
approx 12 [2(0.2113)^4 + 2(0.7887)^4] approx 12 [2(0.002) + 2(0.386)] approx 12 [0.004 + 0.772] approx 0.388
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 7

Agora, substituímos esses valores nas equações normais:
Primeira equação:
0.3123 = a times 0.3334 + b times 0.5
Segunda equação:
0.388 = a times 0.5 + b times 1
Então, nosso sistema de equações fica:
0.3334a + 0.5b = 0.3123 0.5a + b = 0.388

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
b = 0.388 - 0.5a
Substituindo na primeira equação:
0.3334a + 0.5(0.388 - 0.5a) = 0.3123 0.3334a + 0.194 - 0.25a = 0.3123 0.0834a = 0.3123 - 0.194 0.0834a = 0.1183 a approx 0.11830.0834 approx 1.420
Agora, calculamos b = 0.388 - 0.5 times 1.420 approx 0.388 - 0.71 approx -0.322 :

Resposta

O sistema de equações normais é:
0.3334a + 0.5b = 0.3123 0.5a + b = 0.388
Resolvendo o sistema, obtemos y = 1.420,x - 0.322 e . Portanto, a reta que melhor aproxima em no sentido dos mínimos quadrados é:

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