(30 Pontos) Apresente o sistema de equações normais cujo solução determina a reta que melhor aproxima
em
no sentido dos mínimos quadrados. Para esse problema utilize obrigatoriamente a quadratura de Gauss para realizar o cálculo de todas as integrais. Utilize 2 pontos de Gauss e comente a respeito de erros no cálculo das integrais da matriz e do vetor do sistema.
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a reta que melhor aproxima a função
no intervalo
usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, precisamos montar um sistema de equações normais. Além disso, vamos usar a quadratura de Gauss com 2 pontos para calcular as integrais necessárias. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o método dos mínimos quadrados. Esse método busca encontrar a melhor aproximação linear (ou seja, uma reta) para uma função, minimizando a soma dos quadrados dos erros entre a função e a aproximação.
A reta que queremos encontrar tem a forma:
onde
e
são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Para encontrar
e
, montamos as equações normais. Isso envolve calcular algumas integrais. As equações normais para ajuste de reta são:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular as integrais envolvidas. Em vez de calcular as integrais exatamente, vamos usar a quadratura de Gauss com 2 pontos para aproximá-las.
A quadratura de Gauss com 2 pontos no intervalo
usa os pontos
e
com pesos iguais a 1. Para o intervalo
, fazemos uma mudança de variável.
A fórmula geral para a quadratura de Gauss no intervalo
é:
Para
, temos:
Simplificando os pontos:
e ambos os pesos são
.
Passo 5
Vamos calcular cada integral usando a quadratura de Gauss.
Primeiro,
:
Segundo,
:
Terceiro,
:
Quarto,
:
Quinto,
:
Passo 6
Vamos calcular os valores de
e
:
Agora, calculamos cada integral aproximada:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 7
Agora, substituímos esses valores nas equações normais:
Primeira equação:
Segunda equação:
Então, nosso sistema de equações fica:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, calculamos
:
Resposta
O sistema de equações normais é:
Resolvendo o sistema, obtemos
e
. Portanto, a reta que melhor aproxima
em
no sentido dos mínimos quadrados é: