Considerando a seguinte integral definida I=integral0^pi / 2 sin (x) d x, e um conjunto de 4 pontos igualmente espaçados (x0, x1, x2, x3) tal que x0=0 e x3=pi / 2, calcule a estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida se fossem utilizados 21 pontos para a integração numérica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma estimativa do erro quando usamos a regra do trapézio repetida para calcular a integral definida de de a usando 21 pontos. Basicamente, vamos ver o quanto nosso método numérico pode estar errando nessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra do trapézio repetida. Ela é uma técnica numérica para aproximar o valor de integrais definidas. A ideia é dividir a área sob a curva em vários trapézios (em vez de retângulos, como na regra dos retângulos) e somar as áreas desses trapézios para obter uma estimativa da integral.
Agora, sobre o erro dessa aproximação, existe uma fórmula que nos ajuda a estimar quão distante nosso resultado está do valor exato da integral. A fórmula do erro para a regra do trapézio repetida é:
E <= (b - a)^312n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)|
Onde:
  • é o erro,
  • e são os limites de integração,
  • é o número de subintervalos,
  • é a segunda derivada da função que estamos integrando.

Passo 3

Vamos identificar os valores no nosso caso:
  • h = b - an = pi2 - 020 = pi40
  • (porque temos 21 pontos, então há 20 subintervalos)
O passo entre os pontos, chamado de , é calculado por:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada da função f'(x) = cos(x) .
Primeiro, achamos a primeira derivada:
f''(x) = -sin(x)
E a segunda derivada:
max0 <= x <= pi2 |f''(x)| = max0 <= x <= pi2 |sin(x)| = 1
Então, a máxima de no intervalo é:

Passo 5

Vamos agora substituir esses valores na fórmula do erro:
E <= (pi2 - 0)^312 cdot 20^2 cdot 1 = (pi2)^312 cdot 400
Simplificando:
E <= pi^384800 = pi^338400

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor numérico dessa expressão. Sabemos que E <= (3,1416)^338400 approx 31,00638400 approx 0,000807 , então:

Resposta

A estimativa para o erro ao usar a regra do trapézio repetida com 21 pontos é de aproximadamente 0,000807.

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