Considerando a seguinte integral definida
, e um conjunto de 4 pontos igualmente espaçados
tal que
e
, calcule a estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida se fossem utilizados 21 pontos para a integração numérica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma estimativa do erro quando usamos a regra do trapézio repetida para calcular a integral definida de
de
a
usando 21 pontos. Basicamente, vamos ver o quanto nosso método numérico pode estar errando nessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra do trapézio repetida. Ela é uma técnica numérica para aproximar o valor de integrais definidas. A ideia é dividir a área sob a curva em vários trapézios (em vez de retângulos, como na regra dos retângulos) e somar as áreas desses trapézios para obter uma estimativa da integral.
Agora, sobre o erro dessa aproximação, existe uma fórmula que nos ajuda a estimar quão distante nosso resultado está do valor exato da integral. A fórmula do erro para a regra do trapézio repetida é:
Onde:
-
é o erro, -
e são os limites de integração, -
é o número de subintervalos, -
é a segunda derivada da função que estamos integrando.
Passo 3
Vamos identificar os valores no nosso caso:
-
-
-
(porque temos 21 pontos, então há 20 subintervalos)
O passo entre os pontos, chamado de
, é calculado por:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada da função
.
Primeiro, achamos a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Então, a máxima de
no intervalo
é:
Passo 5
Vamos agora substituir esses valores na fórmula do erro:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor numérico dessa expressão. Sabemos que
, então:
Resposta
A estimativa para o erro ao usar a regra do trapézio repetida com 21 pontos é de aproximadamente 0,000807.