Utilize a fatoração L U para resolver o sistema abaixo:
l 5 x1+2 x2+x3=0 3 x1+x2+4 x3=-7 x1+x2+3 x3=-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a fatoração l 5 x1+2 x2+x3=0 3 x1+x2+4 x3=-7 x1+x2+3 x3=-5 . O enunciado nos dá um sistema de três equações com três incógnitas:
Aqui, vamos precisar usar a fatoração , que é uma técnica para resolver sistemas lineares decompondo a matriz dos coeficientes em duas matrizes: (uma matriz triangular inferior) e (uma matriz triangular superior). Isso facilita a resolução do sistema através de substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes A = 5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3 , b = 0 -7 -5 e o vetor dos termos constantes :
Nosso objetivo é encontrar matrizes e tais que .

Passo 3

Vamos iniciar a fatoração L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 . A matriz terá 1’s na diagonal e elementos abaixo dela, enquanto a matriz será uma matriz triangular superior. Vamos construir e passo a passo.
Vamos presumir que:

Passo 4

Multiplicando LU = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 = u11 & u12 & u13 l21u11 & l21u12 + u22 & l21u13 + u23 l31u11 & l31u12 + l32u22 & l31u13 + l32u23 + u33 e 5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3 para igualar :

[
LU =


]
Esse produto deve ser igual à matriz :

Passo 5

Vamos igualar os elementos correspondentes para encontrar os valores de u11 = 5 , u12 = 2 , u13 = 1 , l21 cdot u11 = 3 Rightarrow l21 = 35 , l21 cdot u12 + u22 = 1 Rightarrow 35 cdot 2 + u22 = 1 Rightarrow u22 = 1 - 65 = -15 , l21 cdot u13 + u23 = 4 Rightarrow 35 cdot 1 + u23 = 4 Rightarrow u23 = 4 - 35 = 175 , l31 cdot u11 = 1 Rightarrow l31 = 15 , l31 cdot u12 + l32 cdot u22 = 1 Rightarrow 15 cdot 2 + l32 cdot (-15) = 1 , e 25 - l325 = 1 Rightarrow -l325 = 35 Rightarrow l32 = -3 .
Primeiro, observamos que:
l31 cdot u13 + l32 cdot u23 + u33 = 3 Rightarrow 15 cdot 1 + (-3) cdot 175 + u33 = 3
15 - 515 + u33 = 3 Rightarrow -505 + u33 = 3 Rightarrow -10 + u33 = 3 Rightarrow u33 = 13
Agora, para encontrar :
Para encontrar :
Para encontrar :
Agora, para :
Para :
Finalmente, para :

Passo 6

Agora que temos todos os elementos de L = 1 & 0 & 0 35 & 1 & 0 15 & -3 & 1 , U = 5 & 2 & 1 0 & -15 & 175 0 & 0 & 13 e , podemos escrevê-las:

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema 1 & 0 & 0 35 & 1 & 0 15 & -3 & 1 y1 y2 y3 = 0 -7 -5 . Primeiro, resolvemos y1 = 0 35y1 + y2 = -7 15y1 - 3y2 + y3 = -5 para encontrar y1 = 0 :

[
0 + y2 = -7 Rightarrow y2 = -7
0 - 3(-7) + y3 = -5 Rightarrow 21 + y3 = -5 Rightarrow y3 = -26

0 -7 -26
]
Isso nos dá o seguinte sistema:
Resolvendo:
Então, .

Passo 8

Agora, resolvemos 5 & 2 & 1 0 & -15 & 175 0 & 0 & 13 x1 x2 x3 = 0 -7 -26 :

[
5x1 + 2x2 + x3 = 0 -15x2 + 175x3 = -7 13x3 = -26
13x3 = -26 Rightarrow x3 = -2

-15x2 + 175(-2) = -7 Rightarrow -15x2 - 345 = -7
]
Isso nos dá o seguinte sistema:
- x2 - 34 = -35 Rightarrow -x2 = -1 Rightarrow x2 = 1
Resolvendo de baixo para cima:
5x1 + 2(1) + (-2) = 0 Rightarrow 5x1 + 2 - 2 = 0 Rightarrow 5x1 = 0 Rightarrow x1 = 0
Multiplicando tudo por 5 para eliminar os denominadores:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 0, x2 = 1, x3 = -2

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