Considerando a seguinte integral definida I=integral0^pi / 2 sin (x) d x, e um conjunto de 4 pontos igualmente espaçados (x0, x1, x2, x3) tal que x0=0 e x3=pi / 2, aproxime o valor de I pela regra do trapézio simples;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida usando a regra do trapézio simples com 4 pontos igualmente espaçados. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente de métodos numéricos para aproximação de integrais. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da regra do trapézio e saber como aplicar pontos igualmente espaçados na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo de integração h = b - an = pi/2 - 03 = pi6 em 3 subintervalos iguais, já que temos 4 pontos ( x0 = 0, x1 = x0 + h = pi6, x2 = x1 + h = pi3, x3 = pi2 a ). O comprimento de cada subintervalo ( ) é calculado por:
Então, os pontos são:

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da regra do trapézio composta, que para I approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + f(x3) ] subintervalos é:
f(x0) = sin(0) = 0
No nosso caso, f(x1) = sin(pi6) = 12 , então vamos calcular f(x2) = sin(pi3) = raiz32 em cada ponto:
f(x3) = sin(pi2) = 1

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da regra do trapézio:
I approx pi/62 [ 0 + 2 (12) + 2 (raiz32) + 1 ]
Simplificando dentro dos colchetes:
0 + 2 cdot 12 = 1
2 cdot raiz32 = raiz3
1 + raiz3 + 1 = 2 + raiz3
Então:
I approx pi12 (2 + raiz3)

Resposta

A aproximação da integral usando a regra do trapézio simples é , que aproximadamente é igual a 0,955.

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