Considerando a seguinte integral definida I=integral0^pi / 2 sin (x) d x, e um conjunto de 4 pontos igualmente espaçados (x0, x1, x2, x3) tal que x0=0 e x3=pi / 2, aproxime o valor de I pela regra do trapézio repetida usando todos os pontos;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a regra do trapézio repetida. O que a gente vai fazer é dividir o intervalo de integração em partes menores para facilitar a aproximação. A regra do trapézio basicamente aproxima a área sob a curva como se fosse um trapézio. Para isso, vamos precisar de 4 pontos igualmente espaçados: , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a largura de cada subintervalo. Como temos 4 pontos, temos 3 intervalos. A fórmula para a largura h = b - an é:
h = pi2 - 03 = pi6
onde , e .
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de x1 = x0 + h = 0 + pi6 = pi6 e x2 = x1 + h = pi6 + pi6 = pi3 :

Passo 4

Vamos calcular os valores da função f(x0) = sin(0) = 0 nesses pontos:
f(x1) = sin(pi6) = 12
f(x2) = sin(pi3) = raiz32
f(x3) = sin(pi2) = 1

Passo 5

A regra do trapézio composta é dada por:
I approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + f(x3) ]
Substituindo os valores que encontramos:
I approx pi62 [ 0 + 2(12) + 2(raiz32) + 1 ]

Passo 6

Vamos simplificar dentro dos colchetes:
0 + 2(12) = 1
2(raiz32) = raiz3
1 + 1 + raiz3 = 2 + raiz3
Então:
I approx pi62 times (2 + raiz3) = pi12 (2 + raiz3)

Passo 7

Vamos distribuir I approx pi12 times 2 + pi12 times raiz3 = pi6 + pi raiz312 :
I approx pi6 (1 + raiz32)
Isso pode ser escrito como:

Resposta

A aproximação da integral usando a regra do trapézio repetida é:
I approx pi6 (1 + raiz32)

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