a) Resolva o sistema utilizando eliminação gaussiana com pivoteamento parcial.
b) Substitua seus resultados nas equações originais para checar sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando eliminação gaussiana com pivoteamento parcial. Primeiro, o que estamos fazendo? Estamos resolvendo um sistema de três equações com três incógnitas ( , , ). Para isso, vamos manipular as equações de forma que consigamos isolar uma variável de cada vez. Vamos precisar organizar essas equações em uma matriz aumentada e realizar operações para simplificar o sistema.

Passo 2

Vamos começar montando a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes das equações:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o pivoteamento parcial. Isso significa que, em cada etapa, escolhemos a maior valor absoluto na coluna da variável que estamos eliminando para evitar erros de arredondamento. Começamos com a primeira coluna.
Observando a primeira coluna (coeficiente de ): 2, -3, -8. O maior valor absoluto é 8 (da terceira linha). Então, vamos trocar a primeira linha com a terceira linha:

Passo 4

Agora, vamos eliminar das outras linhas usando a primeira linha como referência. A ideia é zerar os coeficientes de nas linhas 2 e 3.
Para a linha 2:
Calculando:
Para a linha 3:
Calculando:
A matriz fica então:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna para o próximo pivô. Olhando as entradas da segunda coluna abaixo da primeira linha, temos e . O maior valor absoluto é (valor absoluto ). Então, vamos trocar a segunda linha com a terceira linha:

Passo 6

Vamos eliminar da terceira linha usando a segunda linha como referência. Primeiro, ajustamos a segunda linha para ter um coeficiente de igual a 1:
Multiplicamos a segunda linha por :
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Agora, vamos eliminar da terceira linha:
Calculando:
A matriz atualizada:

Passo 7

Agora, vamos resolver a terceira equação para . A partir da terceira linha:
Vamos isolar :
Para simplificar, vamos deixar assim por enquanto.

Passo 8

Agora, vamos substituir na segunda equação para encontrar . A segunda linha é:
Substituindo :
Calculando:
Simplificando os coeficientes:
E do lado direito:
Então:

Passo 9

Finalmente, vamos resolver para usando a primeira equação. A primeira linha é:
Substituindo e :
Calculando passo a passo:
Vamos encontrar um denominador comum, que é 1965:
Substituindo de volta:
Somando os termos com :
E os termos constantes:
Então, a equação fica:
Multiplicando ambos os lados por 1965 para eliminar os denominadores:
Isolando :

Passo 10

Agora que encontramos , vamos encontrar e usando as expressões que obtivemos anteriormente.
Para :
Para :

Passo 11

Agora, vamos verificar a resposta substituindo esses valores nas equações originais.
Equiparação das soluções nas equações:
  1. Primeira equação:
  1. Segunda equação:
  1. Terceira equação:
Tudo está correto!

Resposta

A solução encontrada está correta: , e .

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