a) Resolva o sistema utilizando eliminação gaussiana com pivoteamento parcial.
b) Substitua seus resultados nas equações originais para checar sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando eliminação gaussiana com pivoteamento parcial. Primeiro, o que estamos fazendo? Estamos resolvendo um sistema de três equações com três incógnitas (, , ). Para isso, vamos manipular as equações de forma que consigamos isolar uma variável de cada vez. Vamos precisar organizar essas equações em uma matriz aumentada e realizar operações para simplificar o sistema.
Passo 2
Vamos começar montando a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes das equações:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o pivoteamento parcial. Isso significa que, em cada etapa, escolhemos a maior valor absoluto na coluna da variável que estamos eliminando para evitar erros de arredondamento. Começamos com a primeira coluna.
Observando a primeira coluna (coeficiente de ): 2, -3, -8. O maior valor absoluto é 8 (da terceira linha). Então, vamos trocar a primeira linha com a terceira linha:
Passo 4
Agora, vamos eliminar das outras linhas usando a primeira linha como referência. A ideia é zerar os coeficientes de nas linhas 2 e 3.
Para a linha 2:
Calculando:
Para a linha 3:
Calculando:
A matriz fica então:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna para o próximo pivô. Olhando as entradas da segunda coluna abaixo da primeira linha, temos e . O maior valor absoluto é (valor absoluto ). Então, vamos trocar a segunda linha com a terceira linha:
Passo 6
Vamos eliminar da terceira linha usando a segunda linha como referência. Primeiro, ajustamos a segunda linha para ter um coeficiente de igual a 1:
Multiplicamos a segunda linha por :
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Agora, vamos eliminar da terceira linha:
Calculando:
A matriz atualizada:
Passo 7
Agora, vamos resolver a terceira equação para . A partir da terceira linha:
Vamos isolar :
Para simplificar, vamos deixar assim por enquanto.
Passo 8
Agora, vamos substituir na segunda equação para encontrar . A segunda linha é:
Substituindo :
Calculando:
Simplificando os coeficientes:
E do lado direito:
Então:
Passo 9
Finalmente, vamos resolver para usando a primeira equação. A primeira linha é:
Substituindo e :
Calculando passo a passo:
Vamos encontrar um denominador comum, que é 1965:
Substituindo de volta:
Somando os termos com :
E os termos constantes:
Então, a equação fica:
Multiplicando ambos os lados por 1965 para eliminar os denominadores:
Isolando :
Passo 10
Agora que encontramos , vamos encontrar e usando as expressões que obtivemos anteriormente.
Para :
Para :
Passo 11
Agora, vamos verificar a resposta substituindo esses valores nas equações originais.