& 2 x1-6 x2-x3=-38 & -3 x1-x2+7 x3=-34 & -8 x1+x2-2 x3=-20
a) Resolva o sistema utilizando eliminação gaussiana com pivoteamento parcial.
b) Substitua seus resultados nas equações originais para checar sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando eliminação gaussiana com pivoteamento parcial. Primeiro, o que estamos fazendo? Estamos resolvendo um sistema de três equações com três incógnitas ( x1, x2, x3). Para isso, vamos manipular as equações de forma que consigamos isolar uma variável de cada vez. Vamos precisar organizar essas equações em uma matriz aumentada e realizar operações para simplificar o sistema.

Passo 2

Vamos começar montando a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes das equações:
2 & -6 & -1 & | & -38 -3 & -1 & 7 & | & -34 -8 & 1 & -2 & | & -20

Passo 3

Agora, vamos aplicar o pivoteamento parcial. Isso significa que, em cada etapa, escolhemos a maior valor absoluto na coluna da variável que estamos eliminando para evitar erros de arredondamento. Começamos com a primeira coluna.
Observando a primeira coluna (coeficiente de x1): 2, -3, -8. O maior valor absoluto é 8 (da terceira linha). Então, vamos trocar a primeira linha com a terceira linha:
-8 & 1 & -2 & | & -20 -3 & -1 & 7 & | & -34 2 & -6 & -1 & | & -38

Passo 4

Agora, vamos eliminar x1 das outras linhas usando a primeira linha como referência. A ideia é zerar os coeficientes de x1 nas linhas 2 e 3.
Para a linha 2:
Nova Linha 2 = Linha 2 - (-3-8) times Linha 1 = Linha 2 - (38) times Linha 1
Calculando:
-3 - (38 times -8) = -3 + 3 = 0 -1 - (38 times 1) = -1 - 38 = -118 7 - (38 times -2) = 7 + 68 = 628 = 314 -34 - (38 times -20) = -34 + 608 = -34 + 7.5 = -26.5 = -532
Para a linha 3:
Nova Linha 3 = Linha 3 - (2-8) times Linha 1 = Linha 3 + (14) times Linha 1
Calculando:
2 - (14 times -8) = 2 + 2 = 4 -6 - (14 times 1) = -6 - 14 = -254 -1 - (14 times -2) = -1 + 12 = -12 -38 - (14 times -20) = -38 + 5 = -33
A matriz fica então:
-8 & 1 & -2 & | & -20 0 & -118 & 314 & | & -532 4 & -254 & -12 & | & -33

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna para o próximo pivô. Olhando as entradas da segunda coluna abaixo da primeira linha, temos -118 e -254. O maior valor absoluto é -254 (valor absoluto 6.25). Então, vamos trocar a segunda linha com a terceira linha:
-8 & 1 & -2 & | & -20 4 & -254 & -12 & | & -33 0 & -118 & 314 & | & -532

Passo 6

Vamos eliminar x2 da terceira linha usando a segunda linha como referência. Primeiro, ajustamos a segunda linha para ter um coeficiente de x2 igual a 1:
Multiplicamos a segunda linha por -425:
Nova Linha 2 = -425 times Linha 2
Calculando:
4 times -425 = -1625 -254 times -425 = 1 -12 times -425 = 225 -33 times -425 = 13225
Então, a segunda linha fica:
-1625 & 1 & 225 & | & 13225
Agora, vamos eliminar x2 da terceira linha:
Nova Linha 3 = Linha 3 - (-118) times Nova Linha 2
Calculando:
0 - (-118) times -1625 = 0 - 176200 = -4450 = -2225 -118 - (-118) times 1 = -118 + 118 = 0 314 - (-118) times 225 = 314 + 22200 = 314 + 11100 = 775100 + 11100 = 786100 = 39350 -532 - (-118) times 13225 = -532 + 1452200 = -532 + 36350 = -132550 + 36350 = -96250 = -48125
A matriz atualizada:
-8 & 1 & -2 & | & -20 -1625 & 1 & 225 & | & 13225 -2225 & 0 & 39350 & | & -48125

Passo 7

Agora, vamos resolver a terceira equação para x3. A partir da terceira linha:
-2225x1 + 39350x3 = -48125
Vamos isolar x3:
39350x3 = -48125 + 2225x1 x3 = ( -48125 + 2225x1 ) times 50393 x3 = ( -48125 times 50393 ) + ( 2225 times 50393 )x1 x3 = -481 times 2393 + 22 times 2393x1 x3 = -962393 + 44393x1
Para simplificar, vamos deixar assim por enquanto.

Passo 8

Agora, vamos substituir x3 na segunda equação para encontrar x2. A segunda linha é:
-1625x1 + x2 + 225x3 = 13225
Substituindo x3:
-1625x1 + x2 + 225( -962393 + 44393x1 ) = 13225
Calculando:
-1625x1 + x2 - 19249825 + 889825x1 = 13225 ( -1625 + 889825 )x1 + x2 = 13225 + 19249825
Simplificando os coeficientes:
-16 times 39325 times 393 + 889825 = -62889825 + 889825 = -62009825 = -12401965
E do lado direito:
132 times 39325 times 393 + 19249825 = 519969825 + 19249825 = 539209825 = 107841965
Então:
-12401965x1 + x2 = 107841965 x2 = 107841965 + 12401965x1

Passo 9

Finalmente, vamos resolver para x1 usando a primeira equação. A primeira linha é:
-8x1 + x2 - 2x3 = -20
Substituindo x2 e x3:
-8x1 + ( 107841965 + 12401965x1 ) - 2( -962393 + 44393x1 ) = -20
Calculando passo a passo:
-8x1 + 107841965 + 12401965x1 + 1924393 - 88393x1 = -20
Vamos encontrar um denominador comum, que é 1965:
-8x1 = -157201965x1 12401965x1 = 12401965x1 1924393 = 96201965 -88393x1 = -4401965x1
Substituindo de volta:
-157201965x1 + 12401965x1 - 4401965x1 + 107841965 + 96201965 = -20
Somando os termos com x1:
( -15720 + 1240 - 440 ) 11965x1 = -14920 11965x1
E os termos constantes:
10784 + 96201965 = 204041965
Então, a equação fica:
-149201965x1 + 204041965 = -20
Multiplicando ambos os lados por 1965 para eliminar os denominadores:
-14920x1 + 20404 = -39300
Isolando x1:
-14920x1 = -39300 - 20404 -14920x1 = -59704 x1 = -59704-14920 = 5970414920 = 4

Passo 10

Agora que encontramos x1 = 4, vamos encontrar x2 e x3 usando as expressões que obtivemos anteriormente.
Para x2:
x2 = 107841965 + 12401965x1 x2 = 107841965 + 12401965 times 4 x2 = 107841965 + 49601965 = 157441965 = 8
Para x3:
x3 = -962393 + 44393x1 x3 = -962393 + 44393 times 4 x3 = -962393 + 176393 = -786393 = -2

Passo 11

Agora, vamos verificar a resposta substituindo esses valores nas equações originais.
Equiparação das soluções nas equações:
  1. Primeira equação:
2x1 - 6x2 - x3 = 2(4) - 6(8) - (-2) = 8 - 48 + 2 = -38 (Confere!)
  1. Segunda equação:
-3x1 - x2 + 7x3 = -3(4) - 8 + 7(-2) = -12 - 8 - 14 = -34 (Confere!)
  1. Terceira equação:
-8x1 + x2 - 2x3 = -8(4) + 8 - 2(-2) = -32 + 8 + 4 = -20 (Confere!)
Tudo está correto!

Resposta

A solução encontrada está correta: x1 = 4, x2 = 8 e x3 = -2.

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