Somente uma irá convergir para valores iniciais de . Descubra a equação correta e demonstre porque ela vai sempre funcionar.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos duas equações para :
A tarefa é descobrir qual dessas equações vai convergir para valores iniciais de entre 2 e 6, e mostrar por que ela sempre funciona. Para isso, vamos usar o método de iteração fixa, que é uma técnica para encontrar soluções aproximadas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que uma equação “converge”. No contexto de iteração fixa, uma equação converge se, ao aplicar repetidamente a função a um valor inicial, a sequência de valores resultantes se aproxima de uma solução estável.
Para garantir a convergência, precisamos que a derivada da função em relação a seja menor que 1 em módulo na vizinhança da solução. Ou seja, .
Passo 3
Vamos analisar a primeira equação:
Aqui, a função é:
Calculando a derivada de :
Para garantir , precisamos que:
Dependendo dos valores de , , e , isso pode não ser sempre verdadeiro para entre 2 e 6. Portanto, essa equação pode não garantir a convergência.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda equação:
Aqui, a função é:
Calculando a derivada de :
Para garantir :
Ou seja:
Para entre 2 e 6, varia entre aproximadamente 1.414 e 2.449. Assim, o termo tende a ser menor que 1, dependendo dos valores de , , e . Isso sugere que a segunda equação atende à condição de convergência.
Resposta
A equação correta que sempre converge para valores iniciais de é:
Isso acontece porque, ao aplicar o método de iteração fixa, a derivada dessa função é menor que 1 em módulo dentro do intervalo considerado, garantindo a convergência da solução.