f(x)=sen(x)+cos (1+x^2)-1
em que x está em radianos. Para localizar a raiz, use quatro iterações do método da secante com valores iniciais de xi-1=1.5 e xi=2.25.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos pede para encontrar uma raiz da função usando o método da secante. Isso está relacionado à álgebra numérica, especificamente aos métodos de aproximação de raízes de funções. Para resolver, vamos precisar calcular valores da função em pontos específicos e aplicar a fórmula do método da secante iterativamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método da secante. Esse método é uma técnica para encontrar aproximações sucessivas de raízes de funções xn+1 = xn - f(xn) cdot (xn - xn-1)f(xn) - f(xn-1) . Ele usa duas aproximações iniciais e, a cada passo, gera uma nova aproximação baseada na interseção da secante entre os dois pontos anteriores.
A fórmula do método da secante é:
Vamos começar com os valores iniciais e .

Passo 3

Primeira Iteração: Encontrando f(1.5) = sin(1.5) + cos(1 + (1.5)^2) - 1 approx 0.9975 + cos(3.25) - 1 approx 0.9975 - 0.9983 - 1 approx -1.0008
  1. Calculamos f(2.25) = sin(2.25) + cos(1 + (2.25)^2) - 1 approx 0.7781 + cos(6.0625) - 1 approx 0.7781 + 0.9953 - 1 approx 0.7734 e x2 = 2.25 - 0.7734 cdot (2.25 - 1.5)0.7734 - (-1.0008) approx 2.25 - 0.7734 cdot 0.751.7742 approx 2.25 - 0.3267 approx 1.9233 :
  2. Aplicamos a fórmula da secante:

Passo 4

Segunda Iteração: Encontrando f(1.9233) = sin(1.9233) + cos(1 + (1.9233)^2) - 1 approx 0.9362 + cos(4.6981) - 1 approx 0.9362 + 0.0063 - 1 approx -0.0575
  1. Calculamos x3 = 1.9233 - (-0.0575) cdot (1.9233 - 2.25)-0.0575 - 0.7734 approx 1.9233 + 0.0575 cdot -0.3267-0.8309 approx 1.9233 + 0.0225 approx 1.9458 e :
    Já temos .
  2. Aplicamos a fórmula da secante:

Passo 5

Terceira Iteração: Encontrando f(1.9458) = sin(1.9458) + cos(1 + (1.9458)^2) - 1 approx 0.9282 + cos(4.7793) - 1 approx 0.9282 + 0.0960 - 1 approx 0.0242
  1. Calculamos x4 = 1.9458 - 0.0242 cdot (1.9458 - 1.9233)0.0242 - (-0.0575) approx 1.9458 - 0.0242 cdot 0.02250.0817 approx 1.9458 - 0.0067 approx 1.9391 e :
    Já temos .
  2. Aplicamos a fórmula da secante:

Passo 6

Quarta Iteração: Encontrando f(1.9391) = sin(1.9391) + cos(1 + (1.9391)^2) - 1 approx 0.9332 + cos(4.7575) - 1 approx 0.9332 + 0.0315 - 1 approx -0.0353
  1. Calculamos x5 = 1.9391 - (-0.0353) cdot (1.9391 - 1.9458)-0.0353 - 0.0242 approx 1.9391 + 0.0353 cdot -0.0067-0.0595 approx 1.9391 + 0.0040 approx 1.9431 e :
    Já temos .
  2. Aplicamos a fórmula da secante:

Resposta

Após quatro iterações do método da secante, a aproximação da raiz da função é aproximadamente .

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