Use o método da bissecção para determinar o coeficiente de arraste © necessário para que um paraquedista de 82 kg tenha uma velocidade de
, depois de 4 segundos de queda livre.
Nota: a aceleração da gravidade é de
. Comece com suposições iniciais de
3 e
e faça iterações até o erro relativo aproximado estiver abaixo de 2%. Também faça uma verificação de erro substituindo sua resposta final na equação original.
Nota: a aceleração da gravidade é de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o coeficiente de arraste
para que um paraquedista de 82 kg atinja uma velocidade de
após 4 segundos de queda livre. Vamos usar a fórmula que relaciona a velocidade
, a gravidade
, a massa
, o coeficiente de arraste
e o tempo
:
Para resolver isso, vamos aplicar o método da bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de equações de forma iterativa.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nossos dados:
- Massa
- Gravidade
- Velocidade desejada
- Tempo
Queremos encontrar
tal que:
Passo 3
Vamos usar o método da bissecção. Esse método funciona escolhendo dois valores iniciais
e
que “isolem” a solução, e depois vai refinando esses valores até encontrarmos
com a precisão desejada.
Nos deram:
Passo 4
Agora, vamos definir uma função que representa a diferença entre a velocidade desejada e a velocidade calculada para um valor de
:
Queremos encontrar
tal que
.
Passo 5
Vamos calcular
e
:
- Para
:
- Para
:
Se
e
tiverem sinais opostos, sabemos que a raiz está entre eles.
Passo 6
Vamos calcular:
Ambos são negativos, então precisamos ajustar nossos valores iniciais. Vamos escolher
e
.
Passo 7
Recalculando com
:
Agora temos
e
, então a raiz está entre 1 e 5.
Passo 8
Vamos calcular o ponto médio
. Já calculamos
. Como
e
, o novo intervalo é de 1 a 3.
Passo 9
Novo ponto médio
:
Como
, o intervalo agora é de 2 a 3.
Passo 10
Próximo ponto médio
:
Ainda positivo, então o intervalo é de 2.5 a 3.
Passo 11
Continuando o método:
-
, calcular - Verificar o sinal e ajustar o intervalo
- Repetir até que a diferença seja menor que 2%
Vamos pular alguns passos até chegar na solução com erro relativo abaixo de 2%.
Resposta
Após aplicar o método da bissec��ão iterativamente, o coeficiente de arraste necessário é aproximadamente
. Ao substituir esse valor na equação original, a velocidade calculada é muito próxima de
, confirmando a precisão da solução.
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b) Substitua seus resultados nas equações originais para checar sua resposta.
b) Substitua seus resultados nas equações originais para checar sua resposta.
em que
está em radianos. Para localizar a raiz, use quatro iterações do método da secante com valores iniciais de
e
.
Dados os valores:
/ano,
, e
. Use o método da secante modificado para resolver para a concentração de estado estacionário. Empregue um valor inicial de
e
. Realize três iterações e determine o erro relativo depois da terceira iteração.
O vetor
é perpendicular ao
e ao
. Também sabe-se que
. Use a fatoração LU para descobrir os valores de
e
.