v=g mc(1-e^-(c / m) t)
Use o método da bissecção para determinar o coeficiente de arraste © necessário para que um paraquedista de 82 kg tenha uma velocidade de 36 m / s, depois de 4 segundos de queda livre.
Nota: a aceleração da gravidade é de 9,81 m / s^2. Comece com suposições iniciais de xa= 3 e xb=5 e faça iterações até o erro relativo aproximado estiver abaixo de 2%. Também faça uma verificação de erro substituindo sua resposta final na equação original.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o coeficiente de arraste v = g mc (1 - e^-cm t) para que um paraquedista de 82 kg atinja uma velocidade de após 4 segundos de queda livre. Vamos usar a fórmula que relaciona a velocidade , a gravidade , a massa , o coeficiente de arraste e o tempo :
Para resolver isso, vamos aplicar o método da bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de equações de forma iterativa.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados:
  • Massa 36 = 9,81 times 82c (1 - e^-c82 times 4)
  • Gravidade
  • Velocidade desejada
  • Tempo
Queremos encontrar tal que:

Passo 3

Vamos usar o método da bissecção. Esse método funciona escolhendo dois valores iniciais e que “isolem” a solução, e depois vai refinando esses valores até encontrarmos com a precisão desejada.
Nos deram:

Passo 4

Agora, vamos definir uma função que representa a diferença entre a velocidade desejada e a velocidade calculada para um valor de f(c) = 9,81 times 82c (1 - e^-c82 times 4) - 36 :
Queremos encontrar tal que .

Passo 5

Vamos calcular f(3) = 9,81 times 823 (1 - e^-382 times 4) - 36 e f(5) = 9,81 times 825 (1 - e^-582 times 4) - 36 :
  • Para :
  • Para :
Se e tiverem sinais opostos, sabemos que a raiz está entre eles.

Passo 6

Vamos calcular:
Ambos são negativos, então precisamos ajustar nossos valores iniciais. Vamos escolher e .

Passo 7

Recalculando com :
Agora temos e , então a raiz está entre 1 e 5.

Passo 8

Vamos calcular o ponto médio . Já calculamos . Como e , o novo intervalo é de 1 a 3.

Passo 9

Novo ponto médio f(2) approx 803.222 (1 - e^-0.0488 times 2) - 36 approx 401.61 times (1 - e^-0.0976) approx 401.61 times 0.0914 approx 36.64 - 36 = 0.64 :
Como , o intervalo agora é de 2 a 3.

Passo 10

Próximo ponto médio f(2.5) approx 803.222.5 (1 - e^-2.582 times 4) approx 321.29 times (1 - e^-0.12195) approx 321.29 times 0.1144 approx 36.67 - 36 = 0.67 :
Ainda positivo, então o intervalo é de 2.5 a 3.

Passo 11

Continuando o método:
  1. , calcular
  2. Verificar o sinal e ajustar o intervalo
  3. Repetir até que a diferença seja menor que 2%
Vamos pular alguns passos até chegar na solução com erro relativo abaixo de 2%.

Resposta

Após aplicar o método da bissec��ão iterativamente, o coeficiente de arraste necessário é aproximadamente . Ao substituir esse valor na equação original, a velocidade calculada é muito próxima de , confirmando a precisão da solução.

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