Se
, calcule:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função
e precisamos calcular o limite:
Esse limite é uma forma de encontrar a derivada da função
no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de derivada e como aplicar a substituição de
por
.
Passo 2
Vamos começar substituindo
por
na função
:
Agora, precisamos expandir cada termo.
Passo 3
Expandindo
:
Expandindo
:
Expandindo
:
Passo 4
Substituindo as expansões de volta na expressão de
:
Agora, vamos somar todos os termos semelhantes.
Passo 5
Somando os termos:
- Constantes:
- Termos com
: - Termos com
: - Termo com
:
Então:
Passo 6
Agora, calculamos
. Sabemos que
é:
Então:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão do limite:
Podemos fatorar
no numerador:
Passo 8
Cancelando o
presente no numerador e denominador:
Agora, podemos substituir
diretamente.
Passo 9
Substituindo
:
Resposta
O valor do limite é
.