Se , calcule:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função e precisamos calcular o limite:
Esse limite é uma forma de encontrar a derivada da função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de derivada e como aplicar a substituição de por .

Passo 2

Vamos começar substituindo por na função :
Agora, precisamos expandir cada termo.

Passo 3

Expandindo :
Expandindo :
Expandindo :

Passo 4

Substituindo as expansões de volta na expressão de :
Agora, vamos somar todos os termos semelhantes.

Passo 5

Somando os termos:
  • Constantes:
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termo com :
Então:

Passo 6

Agora, calculamos . Sabemos que é:
Então:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão do limite:
Podemos fatorar no numerador:

Passo 8

Cancelando o presente no numerador e denominador:
Agora, podemos substituir diretamente.

Passo 9

Substituindo :

Resposta

O valor do limite é .

Exercícios relacionados

Determine os valores reais de e para que:
Seja , tal que . Provar usando a definição de limite que .
Dada a função tabelada:
0 1 1.5 2.5 3.0
1.0 0.5 0.4 0.286 0.25
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre dois pontos (interpolação linear). (Use os pontos mais próximos de )
(b) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre três pontos (interpolação quadrática). (Use os pontos mais próximos de )
© Calcular usando os itens (a) e (b).
O polinômio tem seus três zeros reais, todos no intervalo .
Encontre pelo método da Bissecção (use ).