Se f(x)=x^3+a x^2+b x+c, calcule:
lim h 0 f(1+h)-f(1)h

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função lim h 0 f(1+h)-f(1)h e precisamos calcular o limite:
Esse limite é uma forma de encontrar a derivada da função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de derivada e como aplicar a substituição de por .

Passo 2

Vamos começar substituindo f(1+h) = (1+h)^3 + a(1+h)^2 + b(1+h) + c por na função :
Agora, precisamos expandir cada termo.

Passo 3

Expandindo (1+h)^3 = 1 + 3h + 3h^2 + h^3 :
a(1+h)^2 = a(1 + 2h + h^2) = a + 2a h + a h^2
Expandindo b(1+h) = b + b h :
Expandindo :

Passo 4

Substituindo as expansões de volta na expressão de f(1+h) = (1 + 3h + 3h^2 + h^3) + (a + 2a h + a h^2) + (b + b h) + c :
Agora, vamos somar todos os termos semelhantes.

Passo 5

Somando os termos:
  • Constantes: f(1+h) = (1 + a + b + c) + (3 + 2a + b)h + (3 + a)h^2 + h^3
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termo com :
Então:

Passo 6

Agora, calculamos f(1) = 1^3 + a cdot 1^2 + b cdot 1 + c = 1 + a + b + c . Sabemos que f(1+h) - f(1) = [(1 + a + b + c) + (3 + 2a + b)h + (3 + a)h^2 + h^3] - (1 + a + b + c) = (3 + 2a + b)h + (3 + a)h^2 + h^3 é:
Então:

Passo 7

Agora, substituímos lim h 0 (3 + 2a + b)h + (3 + a)h^2 + h^3h na expressão do limite:
lim h 0 h (3 + 2a + b + (3 + a)h + h^2)h
Podemos fatorar no numerador:

Passo 8

Cancelando o lim h 0 (3 + 2a + b + (3 + a)h + h^2) presente no numerador e denominador:
Agora, podemos substituir diretamente.

Passo 9

Substituindo 3 + 2a + b + (3 + a)cdot 0 + 0^2 = 3 + 2a + b :

Resposta

O valor do limite é .

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