Dada a função tabelada:
x 0 1 1.5 2.5 3.0
f(x) 1.0 0.5 0.4 0.286 0.25
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre dois pontos (interpolação linear). (Use os pontos mais próximos de x=0.5 )
(b) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre três pontos (interpolação quadrática). (Use os pontos mais próximos de x=0.5 )
© Calcular f(0.5) usando os itens (a) e (b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de e , e precisamos construir polinômios de interpolação usando a Fórmula de Newton. Vamos focar nos pontos mais próximos de . Para isso, vamos precisar entender sobre interpolação linear (usando dois pontos) e interpolação quadrática (usando três pontos).

Passo 2

Parte (a): Interpolação Linear com Dois Pontos
Primeiro, vamos encontrar os dois pontos mais próximos de c|ccccc x & 0 & 1 & 1.5 & 2.5 & 3.0 hline f(x) & 1.0 & 0.5 & 0.4 & 0.286 & 0.25 na tabela. Olhando a tabela:
P1(x) = f(x0) + f(x1) - f(x0)x1 - x0 (x - x0)
Os pontos mais próximos de x0 = 0, f(x0) = 1.0 são x1 = 1, f(x1) = 0.5 e f(x1) - f(x0)x1 - x0 = 0.5 - 1.01 - 0 = -0.5 .
A fórmula da interpolação linear de Newton é:
P1(x) = 1.0 - 0.5x
Vamos substituir os valores:
Calculando a diferença:
Então, o polinômio fica:

Passo 3

Parte (b): Interpolação Quadrática com Três Pontos
Agora, vamos fazer a interpolação quadrática usando três pontos mais próximos de P2(x) = f(x0) + f(x1) - f(x0)x1 - x0(x - x0) + [f(x2) - f(x1)x2 - x1] - [f(x1) - f(x0)x1 - x0]x2 - x0(x - x0)(x - x1) . Os três pontos são x0 = 0, f(x0) = 1.0 , x1 = 1, f(x1) = 0.5 e x2 = 1.5, f(x2) = 0.4 .
A Fórmula de Newton para interpolação quadrática é:
f(x1) - f(x0)x1 - x0 = 0.5 - 1.01 - 0 = -0.5
Vamos substituir os valores:
f(x2) - f(x1)x2 - x1 = 0.4 - 0.51.5 - 1 = -0.2
Diferença dividida de segunda ordem = -0.2 - (-0.5)1.5 - 0 = 0.31.5 = 0.2
P2(x) = 1.0 - 0.5x + 0.2(x)(x - 1)
Primeiro, calculamos as diferenças divididas:
P2(x) = 1.0 - 0.5x + 0.2x^2 - 0.2x
P2(x) = 1.0 - 0.7x + 0.2x^2
ç
Agora, montamos o polinômio:

Passo 4

Parte ©: Calculando P1(0.5) = 1.0 - 0.5 times 0.5 = 1.0 - 0.25 = 0.75 com os Polinômios Obtidos
Agora, vamos usar os polinômios P2(0.5) = 1.0 - 0.7 times 0.5 + 0.2 times (0.5)^2 = 1.0 - 0.35 + 0.05 = 0.7 e para estimar .
Para :
Para :

Resposta

(a)
(b)
© estimado por e por

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