Determine os valores reais de alpha e beta para que:
lim x -infty alpha x^2+beta x-14 x+2=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve encontrar os valores de alpha e beta. A matéria aqui é cálculo, especificamente limites no infinito. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador das funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece com a função quando x tende a -infty. No numerador, o termo de maior grau é alpha x^2 e no denominador é 4x. Quando x vai para menos infinito, os termos de maior grau dominam o comportamento da função.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo todos os termos do numerador e do denominador por x. Então, temos:
alpha x^2+beta x-14 x+2 = alpha x + beta - 1x4 + 2x

Passo 4

Agora, analisando o limite quando x vai para -infty, os termos 1x e 2x vão a zero. Assim, a expressão simplifica para:
alpha x + beta4

Passo 5

Queremos que esse limite seja igual a 2. Portanto, temos:
alpha x + beta4 = 2

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar, ficamos com:
alpha x + beta = 8

Passo 7

Como essa igualdade deve valer para todo x que tende a -infty, o único jeito disso acontecer é se o coeficiente de x for zero (senão, a expressão dependeria de x). Então:
alpha = 0

Passo 8

Agora, substituindo alpha = 0 na equação alpha x + beta = 8, temos:
0 cdot x + beta = 8 implies beta = 8

Resposta

Os valores reais são alpha = 0 e beta = 8.

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