Seja
, tal que
. Provar usando a definição de limite que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
definida para todos os números reais, exceto
. A tarefa é provar, usando a definição de limite, que quando
se aproxima de 10 pela direita (ou seja, valores maiores que 10), o limite de
é mais infinito. Em outras palavras, queremos mostrar que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
. Isso quer dizer que, para qualquer número grande
, podemos encontrar um intervalo à direita de
onde todos os valores de
são maiores que
. No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos formalizar isso. Precisamos mostrar que para todo
, existe um
tal que se
, então
. Isso é a base da definição de limite no sentido de que a função cresce além de qualquer limite pré-estabelecido à medida que
se aproxima de 10 pela direita.
Passo 4
Agora, vamos resolver a inequação
:
Como
,
é positivo. Então, podemos multiplicar ambos os lados por
sem inverter a desigualdade:
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo):
Adicionando 10:
Isso significa que se escolhermos
, então para todo
tal que
, teremos
.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, provamos que
.
Exercícios relacionados
Determine o valor de
para que as funções sejam contínuas nos pontos dados:
no ponto
.
Calcule:
Determine os valores reais de
e
para que:
Se
, calcule: