Seja f: R-10 R, tal que f(x)=1x-10. Provar usando a definição de limite que lim x 10^+ f(x)=+infty.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função definida para todos os números reais, exceto . A tarefa é provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 10 pela direita (ou seja, valores maiores que 10), o limite de é mais infinito. Em outras palavras, queremos mostrar que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que . Isso quer dizer que, para qualquer número grande , podemos encontrar um intervalo à direita de onde todos os valores de são maiores que . No nosso caso, .

Passo 3

Vamos formalizar isso. Precisamos mostrar que para todo , existe um tal que se , então . Isso é a base da definição de limite no sentido de que a função cresce além de qualquer limite pré-estabelecido à medida que se aproxima de 10 pela direita.

Passo 4

Agora, vamos resolver a inequação 1x - 10 > M :
1 > M(x - 10)
Como 1M > x - 10 , 10 + 1M > x é positivo. Então, podemos multiplicar ambos os lados por sem inverter a desigualdade:
Dividindo ambos os lados por (que é positivo):
Adicionando 10:
Isso significa que se escolhermos , então para todo tal que , teremos .

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, provamos que .

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