O polinômio p(x)=x^3-72 x^2+144 x-1 tem seus três zeros reais, todos no intervalo (0,2.5).
Encontre x2 pelo método da Bissecção (use varepsilon=10^-2 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o problema nos dá um polinômio e nos diz que ele tem três zeros reais, todos entre 0 e 2.5. Nosso objetivo é encontrar um desses zeros, especificamente , usando o método da Bissecção com uma precisão de .

Passo 2

Então, o que é o método da Bissecção? Basicamente, é um jeito de encontrar as raízes de uma função dividindo repetidamente um intervalo ao meio e selecionando o subintervalo onde a função muda de sinal. Isso funciona porque, se a função muda de sinal em um intervalo, significa que ela deve cruzar o eixo x ali, ou seja, tem uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Primeiro, precisamos escolher um intervalo inicial onde a função p(0) = 0^3 - 72(0)^2 + 144(0) - 1 = -1 muda de sinal. Vamos testar os extremos do intervalo dado, 0 e 2.5:
  • Calculando p(2.5) = (2.5)^3 - 72(2.5)^2 + 144(2.5) - 1 :
    p(2.5) = 15.625 - 72(6.25) + 144(2.5) - 1
  • Calculando p(2.5) = 15.625 - 21.875 + 8.75 - 1 = 1.5 :
Como e , a função muda de sinal nesse intervalo, então sabemos que tem pelo menos uma raiz entre 0 e 2.5.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da Bissecção. Nosso objetivo é encontrar c = a + b2 com precisão de c = 0 + 2.52 = 1.25 . Vamos seguir os passos:
  1. Determinar o ponto médio do intervalo:
    p(1.25) = (1.25)^3 - 72(1.25)^2 + 144(1.25) - 1
    Onde p(1.25) = 1.953125 - 72(1.5625) + 144(1.25) - 1 e p(1.25) = 1.953125 - 5.46875 + 4.375 - 1 = -0.140625 , então:
  2. Calcular :
  3. Verificar o sinal de :
    Como é negativo e é positivo, a raiz está entre e . Então, atualizamos o intervalo para [1.25, 2.5].

Passo 5

Vamos repetir o processo com o novo intervalo [1.25, 2.5]:
  1. Calcular o novo ponto médio:
    c = 1.25 + 2.52 = 1.875
  2. Calcular p(1.875) = (1.875)^3 - 72(1.875)^2 + 144(1.875) - 1 :
    p(1.875) = 6.591797 - 72(3.515625) + 144(1.875) - 1
    p(1.875) = 6.591797 - 12.8515625 + 6.5625 - 1 = -0.697265625
  3. Verificar o sinal de :
    ainda é negativo, então a raiz está entre 1.875 e 2.5. Atualizamos o intervalo para [1.875, 2.5].

Passo 6

Continuamos com o intervalo [1.875, 2.5]:
  1. Novo ponto médio:
    c = 1.875 + 2.52 = 2.1875
  2. Calcular p(2.1875) = (2.1875)^3 - 72(2.1875)^2 + 144(2.1875) - 1 :
    p(2.1875) = 10.435059 - 72(4.78515625) + 144(2.1875) - 1
    p(2.1875) = 10.435059 - 16.797265625 + 7.65625 - 1 = -0.70695625
  3. Verificar o sinal de :
    Ainda negativo, então a raiz está entre 2.1875 e 2.5. Atualizamos para [2.1875, 2.5].

Passo 7

Mais uma iteração com o intervalo [2.1875, 2.5]:
  1. Ponto médio:
    c = 2.1875 + 2.52 = 2.34375
  2. Calcular p(2.34375) = (2.34375)^3 - 72(2.34375)^2 + 144(2.34375) - 1 :
    p(2.34375) = 12.818359375 - 72(5.4931640625) + 144(2.34375) - 1
    p(2.34375) = 12.818359375 - 19.2255859375 + 8.203125 - 1 = 0.7958984375
  3. Verificar o sinal de :
    Agora, é positivo. Como é negativo, a raiz está entre 2.1875 e 2.34375. Atualizamos o intervalo para [2.1875, 2.34375].

Passo 8

Vamos verificar se já atingimos a precisão desejada c = 2.1875 + 2.343752 = 2.265625 :
  • O tamanho do intervalo atual é p(2.265625) = (2.265625)^3 - 72(2.265625)^2 + 144(2.265625) - 1 .
  • A precisão desejada é p(2.265625) = 11.6492919922 - 72(5.1337890625) + 144(2.265625) - 1 .
Como p(2.265625) = 11.6492919922 - 17.968359375 + 7.9453125 - 1 = -0.3737548828 , precisamos continuar.
  1. Ponto médio:
  2. Calcular :
  3. Verificar o sinal de :
    Como é negativo, a raiz está entre 2.265625 e 2.34375. Atualizamos o intervalo para [2.265625, 2.34375].

Passo 9

Continuamos com o intervalo [2.265625, 2.34375]:
  1. Ponto médio:
    c = 2.265625 + 2.343752 = 2.3046875
  2. Calcular p(2.3046875) = (2.3046875)^3 - 72(2.3046875)^2 + 144(2.3046875) - 1 :
    p(2.3046875) = 12.226272583 - 72(5.3297119141) + 144(2.3046875) - 1
    p(2.3046875) = 12.226272583 - 18.6545053711 + 8.0859375 - 1 = 0.657704211
  3. Verificar o sinal de :
    é positivo. Como é negativo, a raiz está entre 2.265625 e 2.3046875. Atualizamos o intervalo para [2.265625, 2.3046875].

Passo 10

Vamos checar a precisão novamente:
  • Tamanho do intervalo: c = 2.265625 + 2.30468752 = 2.28515625 .
  • Precisão desejada: p(2.28515625) = (2.28515625)^3 - 72(2.28515625)^2 + 144(2.28515625) - 1 .
Como p(2.28515625) = 11.9222106934 - 72(5.2205200195) + 144(2.28515625) - 1 , continuamos.
  1. Ponto médio:
    p(2.28515625) = 11.9222106934 - 18.2318200684 + 8.0 - 1 = 0.690390625
  2. Calcular :
  3. Verificar o sinal de :
    é positivo. Então, a raiz está entre 2.265625 e 2.28515625. Atualizamos para [2.265625, 2.28515625].

Passo 11

Verificamos a precisão:
  • Tamanho do intervalo: c = 2.265625 + 2.285156252 = 2.275390625 .
  • Precisão desejada: p(2.275390625) = (2.275390625)^3 - 72(2.275390625)^2 + 144(2.275390625) - 1 .
Ainda p(2.275390625) = 11.8052368164 - 72(5.1786804199) + 144(2.275390625) - 1 , então seguimos.
  1. Ponto médio:
    p(2.275390625) = 11.8052368164 - 18.1168618164 + 7.9765625 - 1 = 0.664897
  2. Calcular :
  3. Verificar o sinal de :
    é positivo, então a raiz está entre 2.265625 e 2.275390625. Atualizamos para [2.265625, 2.275390625].

Passo 12

Finalmente, checamos a precisão:
  • Tamanho do intervalo: .
  • Precisão desejada: .
Agora, , então paramos aqui. O valor é nossa aproximação para com a precisão desejada.

Resposta

Aproximadamente, usando o método da Bissecção com .

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