O polinômio
tem seus três zeros reais, todos no intervalo
.
Encontre
pelo método da Bissecção (use
).
Encontre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o problema nos dá um polinômio
e nos diz que ele tem três zeros reais, todos entre 0 e 2.5. Nosso objetivo é encontrar um desses zeros, especificamente
, usando o método da Bissecção com uma precisão de
.
Passo 2
Então, o que é o método da Bissecção? Basicamente, é um jeito de encontrar as raízes de uma função dividindo repetidamente um intervalo ao meio e selecionando o subintervalo onde a função muda de sinal. Isso funciona porque, se a função muda de sinal em um intervalo, significa que ela deve cruzar o eixo x ali, ou seja, tem uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Primeiro, precisamos escolher um intervalo inicial onde a função
muda de sinal. Vamos testar os extremos do intervalo dado, 0 e 2.5:
-
Calculando
: -
Calculando
:
Como
e
, a função muda de sinal nesse intervalo, então sabemos que tem pelo menos uma raiz entre 0 e 2.5.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método da Bissecção. Nosso objetivo é encontrar
com precisão de
. Vamos seguir os passos:
-
Determinar o ponto médio do intervalo:Onde
e , então: -
Calcular
: -
Verificar o sinal de
:
Comoé negativo e é positivo, a raiz está entre e . Então, atualizamos o intervalo para [1.25, 2.5].
Passo 5
Vamos repetir o processo com o novo intervalo [1.25, 2.5]:
-
Calcular o novo ponto médio:
-
Calcular
: -
Verificar o sinal de
:
ainda é negativo, então a raiz está entre 1.875 e 2.5. Atualizamos o intervalo para [1.875, 2.5].
Passo 6
Continuamos com o intervalo [1.875, 2.5]:
-
Novo ponto médio:
-
Calcular
: -
Verificar o sinal de
:
Ainda negativo, então a raiz está entre 2.1875 e 2.5. Atualizamos para [2.1875, 2.5].
Passo 7
Mais uma iteração com o intervalo [2.1875, 2.5]:
-
Ponto médio:
-
Calcular
: -
Verificar o sinal de
:
Agora,é positivo. Como é negativo, a raiz está entre 2.1875 e 2.34375. Atualizamos o intervalo para [2.1875, 2.34375].
Passo 8
Vamos verificar se já atingimos a precisão desejada
:
- O tamanho do intervalo atual é
. - A precisão desejada é
.
Como
, precisamos continuar.
-
Ponto médio:
-
Calcular
: -
Verificar o sinal de
:
Comoé negativo, a raiz está entre 2.265625 e 2.34375. Atualizamos o intervalo para [2.265625, 2.34375].
Passo 9
Continuamos com o intervalo [2.265625, 2.34375]:
-
Ponto médio:
-
Calcular
: -
Verificar o sinal de
:
é positivo. Como é negativo, a raiz está entre 2.265625 e 2.3046875. Atualizamos o intervalo para [2.265625, 2.3046875].
Passo 10
Vamos checar a precisão novamente:
- Tamanho do intervalo:
. - Precisão desejada:
.
Como
, continuamos.
-
Ponto médio:
-
Calcular
: -
Verificar o sinal de
:
é positivo. Então, a raiz está entre 2.265625 e 2.28515625. Atualizamos para [2.265625, 2.28515625].
Passo 11
Verificamos a precisão:
- Tamanho do intervalo:
. - Precisão desejada:
.
Ainda
, então seguimos.
-
Ponto médio:
-
Calcular
: -
Verificar o sinal de
:
é positivo, então a raiz está entre 2.265625 e 2.275390625. Atualizamos para [2.265625, 2.275390625].
Passo 12
Finalmente, checamos a precisão:
- Tamanho do intervalo:
. - Precisão desejada:
.
Agora,
, então paramos aqui. O valor
é nossa aproximação para
com a precisão desejada.
Resposta
Aproximadamente,
usando o método da Bissecção com
.
Exercícios relacionados
Dada a função tabelada:
|
0 | 1 | 1.5 | 2.5 | 3.0 |
---|---|---|---|---|---|
|
1.0 | 0.5 | 0.4 | 0.286 | 0.25 |
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre dois pontos (interpolação linear). (Use os pontos mais próximos de
)
(b) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre três pontos (interpolação quadrática). (Use os pontos mais próximos de )
© Calcular usando os itens (a) e (b).
(b) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre três pontos (interpolação quadrática). (Use os pontos mais próximos de
© Calcular
Se
, calcule:
Use o método da bisseção para encontrar o zero da função
, onde
e
.
Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use
):