O polinômio tem seus três zeros reais, todos no intervalo .
Encontre pelo método da Bissecção (use ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o problema nos dá um polinômio e nos diz que ele tem três zeros reais, todos entre 0 e 2.5. Nosso objetivo é encontrar um desses zeros, especificamente , usando o método da Bissecção com uma precisão de .

Passo 2

Então, o que é o método da Bissecção? Basicamente, é um jeito de encontrar as raízes de uma função dividindo repetidamente um intervalo ao meio e selecionando o subintervalo onde a função muda de sinal. Isso funciona porque, se a função muda de sinal em um intervalo, significa que ela deve cruzar o eixo x ali, ou seja, tem uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Primeiro, precisamos escolher um intervalo inicial onde a função muda de sinal. Vamos testar os extremos do intervalo dado, 0 e 2.5:
  • Calculando :
  • Calculando :
Como e , a função muda de sinal nesse intervalo, então sabemos que tem pelo menos uma raiz entre 0 e 2.5.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da Bissecção. Nosso objetivo é encontrar com precisão de . Vamos seguir os passos:
  1. Determinar o ponto médio do intervalo:
    Onde e , então:
  2. Calcular :
  3. Verificar o sinal de :
    Como é negativo e é positivo, a raiz está entre e . Então, atualizamos o intervalo para [1.25, 2.5].

Passo 5

Vamos repetir o processo com o novo intervalo [1.25, 2.5]:
  1. Calcular o novo ponto médio:
  2. Calcular :
  3. Verificar o sinal de :
    ainda é negativo, então a raiz está entre 1.875 e 2.5. Atualizamos o intervalo para [1.875, 2.5].

Passo 6

Continuamos com o intervalo [1.875, 2.5]:
  1. Novo ponto médio:
  2. Calcular :
  3. Verificar o sinal de :
    Ainda negativo, então a raiz está entre 2.1875 e 2.5. Atualizamos para [2.1875, 2.5].

Passo 7

Mais uma iteração com o intervalo [2.1875, 2.5]:
  1. Ponto médio:
  2. Calcular :
  3. Verificar o sinal de :
    Agora, é positivo. Como é negativo, a raiz está entre 2.1875 e 2.34375. Atualizamos o intervalo para [2.1875, 2.34375].

Passo 8

Vamos verificar se já atingimos a precisão desejada :
  • O tamanho do intervalo atual é .
  • A precisão desejada é .
Como , precisamos continuar.
  1. Ponto médio:
  2. Calcular :
  3. Verificar o sinal de :
    Como é negativo, a raiz está entre 2.265625 e 2.34375. Atualizamos o intervalo para [2.265625, 2.34375].

Passo 9

Continuamos com o intervalo [2.265625, 2.34375]:
  1. Ponto médio:
  2. Calcular :
  3. Verificar o sinal de :
    é positivo. Como é negativo, a raiz está entre 2.265625 e 2.3046875. Atualizamos o intervalo para [2.265625, 2.3046875].

Passo 10

Vamos checar a precisão novamente:
  • Tamanho do intervalo: .
  • Precisão desejada: .
Como , continuamos.
  1. Ponto médio:
  2. Calcular :
  3. Verificar o sinal de :
    é positivo. Então, a raiz está entre 2.265625 e 2.28515625. Atualizamos para [2.265625, 2.28515625].

Passo 11

Verificamos a precisão:
  • Tamanho do intervalo: .
  • Precisão desejada: .
Ainda , então seguimos.
  1. Ponto médio:
  2. Calcular :
  3. Verificar o sinal de :
    é positivo, então a raiz está entre 2.265625 e 2.275390625. Atualizamos para [2.265625, 2.275390625].

Passo 12

Finalmente, checamos a precisão:
  • Tamanho do intervalo: .
  • Precisão desejada: .
Agora, , então paramos aqui. O valor é nossa aproximação para com a precisão desejada.

Resposta

Aproximadamente, usando o método da Bissecção com .

Exercícios relacionados

Dada a função tabelada:
0 1 1.5 2.5 3.0
1.0 0.5 0.4 0.286 0.25
(a) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre dois pontos (interpolação linear). (Use os pontos mais próximos de )
(b) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre três pontos (interpolação quadrática). (Use os pontos mais próximos de )
© Calcular usando os itens (a) e (b).
Se , calcule:
Use o método da bisseção para encontrar o zero da função , onde e .
Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use ):