[5 pontos] A função abaixo tem uma raiz em . Encontre-a pelo Método da Bissecção, com uma precisão de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a raiz da função no intervalo usando o Método da Bissecção, com uma precisão de . Ou seja, queremos achar o valor de que faz dentro desse intervalo, e vamos usar o Método da Bissecção para chegar perto desse valor até que a nossa estimativa esteja correta até duas casas decimais.
Passo 2
Primeiro, o Método da Bissecção funciona dividindo o intervalo em duas partes iguais e verificando em qual metade a raiz está localizada, repetindo esse processo até alcançar a precisão desejada. Para garantir que esse método funcione, precisamos que a função mude de sinal no intervalo , ou seja, .
Vamos calcular e :
Como é negativo e é positivo, temos que . Isso confirma que há pelo menos uma raiz no intervalo .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção:
Primeira iteração:
,
Calculamos o ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .
Segunda iteração:
,
Ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .
Terceira iteração:
,
Ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .
Quarta iteração:
,
Ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo .
Quinta iteração:
,
Ponto médio:
Calculamos :
Agora, , então a raiz está no intervalo .
Continuando esse processo até que a largura do intervalo seja menor que , teremos a raiz com a precisão desejada.
Resposta
A raiz da função no intervalo encontrada pelo Método da Bissecção, com uma precisão de , é aproximadamente .