[5 pontos] A função abaixo tem uma raiz em
. Encontre-a pelo Método da Bissecção, com uma precisão de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a raiz da função
no intervalo
usando o Método da Bissecção, com uma precisão de
. Ou seja, queremos achar o valor de
que faz
dentro desse intervalo, e vamos usar o Método da Bissecção para chegar perto desse valor até que a nossa estimativa esteja correta até duas casas decimais.
Passo 2
Primeiro, o Método da Bissecção funciona dividindo o intervalo em duas partes iguais e verificando em qual metade a raiz está localizada, repetindo esse processo até alcançar a precisão desejada. Para garantir que esse método funcione, precisamos que a função mude de sinal no intervalo
, ou seja,
.
Vamos calcular
e
:
Como
é negativo e
é positivo, temos que
. Isso confirma que há pelo menos uma raiz no intervalo
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção:
-
Primeira iteração:
-
, - Calculamos o ponto médio:
- Calculamos
: - Como
, a raiz está no intervalo .
-
-
Segunda iteração:
-
, - Ponto médio:
- Calculamos
: - Como
, a raiz está no intervalo .
-
-
Terceira iteração:
-
, - Ponto médio:
- Calculamos
: - Como
, a raiz está no intervalo .
-
-
Quarta iteração:
-
, - Ponto médio:
- Calculamos
: - Como
, a raiz está no intervalo .
-
-
Quinta iteração:
-
, - Ponto médio:
- Calculamos
: - Agora,
, então a raiz está no intervalo .
-
Continuando esse processo até que a largura do intervalo seja menor que
, teremos a raiz com a precisão desejada.
Resposta
A raiz da função
no intervalo
encontrada pelo Método da Bissecção, com uma precisão de
, é aproximadamente
.