1 [5 pontos] A função abaixo tem uma raiz em [1,3]. Encontre-a pelo Método da Bissecção, com uma precisão de 10^-2.
f(x)=x^3-2 x-3e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a raiz da função no intervalo usando o Método da Bissecção, com uma precisão de . Ou seja, queremos achar o valor de que faz dentro desse intervalo, e vamos usar o Método da Bissecção para chegar perto desse valor até que a nossa estimativa esteja correta até duas casas decimais.

Passo 2

Primeiro, o Método da Bissecção funciona dividindo o intervalo em duas partes iguais e verificando em qual metade a raiz está localizada, repetindo esse processo até alcançar a precisão desejada. Para garantir que esse método funcione, precisamos que a função mude de sinal no intervalo f(1) = 1^3 - 2(1) - 3e^1 = 1 - 2 - 3e = -4e approx -1,47 , ou seja, f(3) = 3^3 - 2(3) - 3e^3 = 27 - 6 - 3e^3 = 18e^3 approx 0,89 .
Vamos calcular e :
Como é negativo e é positivo, temos que . Isso confirma que há pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção:
  1. Primeira iteração:
    • f(2) = 2^3 - 2(2) - 3e^2 = 8 - 4 - 3e^2 = 1e^2 approx 0,14 , f(1,5) = 1,5^3 - 2(1,5) - 3e^1,5 = 3,375 - 3 - 3e^1,5 = -2,625e^1,5 approx -0,63
    • Calculamos o ponto médio: f(1,75) = 1,75^3 - 2(1,75) - 3e^1,75 approx 5,359 - 3,5 - 3e^1,75 approx -1,141e^1,75 approx -0,19
    • Calculamos f(1,875) approx 1,875^3 - 2(1,875) - 3e^1,875 approx 6,591 - 3,75 - 3e^1,875 approx -0,159e^1,875 approx -0,07 : f(1,9375) approx 1,9375^3 - 2(1,9375) - 3e^1,9375 approx 7,279 - 3,875 - 3e^1,9375 approx 0,404e^1,9375 approx 0,07
    • Como , a raiz está no intervalo .
  2. Segunda iteração:
    • ,
    • Ponto médio:
    • Calculamos :
    • Como , a raiz está no intervalo .
  3. Terceira iteração:
    • ,
    • Ponto médio:
    • Calculamos :
    • Como , a raiz está no intervalo .
  4. Quarta iteração:
    • ,
    • Ponto médio:
    • Calculamos :
    • Como , a raiz está no intervalo .
  5. Quinta iteração:
    • ,
    • Ponto médio:
    • Calculamos :
    • Agora, , então a raiz está no intervalo .
Continuando esse processo até que a largura do intervalo seja menor que , teremos a raiz com a precisão desejada.

Resposta

A raiz da função no intervalo encontrada pelo Método da Bissecção, com uma precisão de , é aproximadamente .

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