2 [5 pontos] Use o Método de Gauss-Seidel para encontrar a solução do Sistema Linear de Equações abaixo.
l 3 x1-6 x2=6 4 x1+1 x2=2
Primeiro, manipule o Sistema para que seja Diagonalmente Dominante. Encontre a solução com uma precisão de 10^-1 utilizando x^(0)=(0.5,-0.5). Considere o erro absoluto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss-Seidel. Primeiro, a gente vai arrumar as equações para que o sistema seja Diagonalmente Dominante. Depois, vamos aplicar o método iterativamente até conseguir uma solução com precisão de 10^-1. Vamos começar com a aproximação inicial x^(0) = (0.5, -0.5) e considerar o erro absoluto.

Passo 2

Primeiro, precisamos manipular o sistema para que ele seja diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
O sistema original é:
l 3 x1 - 6 x2 = 6 4 x1 + 1 x2 = 2
Observando as equações:
  • Na primeira equação, o coeficiente de x1 é 3 e o de x2 é -6. Como |3| < |-6|, não é diagonalmente dominante.
  • Na segunda equação, o coeficiente de x2 é 1 e o de x1 é 4. Como |1| < |4|, também não é diagonalmente dominante.
Para corrigir isso, vamos trocar a ordem das equações:
l 4 x1 + 1 x2 = 2 3 x1 - 6 x2 = 6
Agora, verificando novamente:
  • Na primeira equação, |4| >= |1| → OK.
  • Na segunda equação, |-6| >= |3| → OK.
Agora o sistema está Diagonalmente Dominante!

Passo 3

Vamos reescrever as equações para isolar as variáveis, facilitando a aplicação do Método de Gauss-Seidel.
Da primeira equação:
4 x1 + x2 = 2 Rightarrow x1 = 2 - x24
Da segunda equação:
3 x1 - 6 x2 = 6 Rightarrow x2 = 3 x1 - 66 = 3 x16 - 1 = x12 - 1
Então, temos:
x1 = 2 - x24 x2 = x12 - 1

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método de Gauss-Seidel usando a aproximação inicial x^(0) = (0.5, -0.5).

Iteração 1:

Calculando x1^(1):
x1^(1) = 2 - x2^(0)4 = 2 - (-0.5)4 = 2.54 = 0.625
Calculando x2^(1):
x2^(1) = x1^(1)2 - 1 = 0.6252 - 1 = 0.3125 - 1 = -0.6875
Verificando o erro absoluto:
  • Erro em x1: |0.625 - 0.5| = 0.125 (maior que 0.1)
  • Erro em x2: |-0.6875 - (-0.5)| = 0.1875 (maior que 0.1)
Como os erros ainda são maiores que 0.1, precisamos de mais uma iteração.

Iteração 2:

Calculando x1^(2):
x1^(2) = 2 - x2^(1)4 = 2 - (-0.6875)4 = 2.68754 = 0.671875
Calculando x2^(2):
x2^(2) = x1^(2)2 - 1 = 0.6718752 - 1 = 0.3359375 - 1 = -0.6640625
Verificando o erro absoluto:
  • Erro em x1: |0.671875 - 0.625| = 0.046875 (menor que 0.1)
  • Erro em x2: |-0.6640625 - (-0.6875)| = 0.0234375 (menor que 0.1)
Como ambos os erros são menores que 0.1, podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo Método de Gauss-Seidel com precisão de 10^-1 é:
x1 approx 0.7 x2 approx -0.7

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