2 [5 pontos] Use o Método de Gauss-Seidel para encontrar a solução do Sistema Linear de Equações abaixo.
Primeiro, manipule o Sistema para que seja Diagonalmente Dominante. Encontre a solução com uma precisão de utilizando . Considere o erro absoluto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss-Seidel. Primeiro, a gente vai arrumar as equações para que o sistema seja Diagonalmente Dominante. Depois, vamos aplicar o método iterativamente até conseguir uma solução com precisão de . Vamos começar com a aproximação inicial e considerar o erro absoluto.

Passo 2

Primeiro, precisamos manipular o sistema para que ele seja diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
O sistema original é:
Observando as equações:
  • Na primeira equação, o coeficiente de é 3 e o de é -6. Como , não é diagonalmente dominante.
  • Na segunda equação, o coeficiente de é 1 e o de é 4. Como , também não é diagonalmente dominante.
Para corrigir isso, vamos trocar a ordem das equações:
Agora, verificando novamente:
  • Na primeira equação, → OK.
  • Na segunda equação, → OK.
Agora o sistema está Diagonalmente Dominante!

Passo 3

Vamos reescrever as equações para isolar as variáveis, facilitando a aplicação do Método de Gauss-Seidel.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método de Gauss-Seidel usando a aproximação inicial .

Iteração 1:

Calculando :
Calculando :
Verificando o erro absoluto:
  • Erro em : (maior que )
  • Erro em : (maior que )
Como os erros ainda são maiores que , precisamos de mais uma iteração.

Iteração 2:

Calculando :
Calculando :
Verificando o erro absoluto:
  • Erro em : (menor que )
  • Erro em : (menor que )
Como ambos os erros são menores que , podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo Método de Gauss-Seidel com precisão de é:

Exercícios relacionados

[5 pontos] A função abaixo tem uma raiz em . Encontre-a pelo Método da Bissecção, com uma precisão de .
Seja o sistema que segue e o vetor . Através do método de Gauss-Jacobi obtenha o resultado após a terceira iteração.
(a)
(b)
©
(d)
(e) Não sei
Uma linha de montagem utiliza robôs para a realizaçāo das tarefas necessárias para a montagem de um produto. Os técnicos acreditam que é necessário uma programaçāo diferente para garantir a qualidade do produto final, mas suspeitam que o tempo necessário para completar - processo pode aumentar. Para verificar essa suspeia, 12 robôs foram selecionados a o tempo necessário para a montagem foi medido, considerando-se a programaçāo usual e a nova proposta. Os tempos observados (em minutos) para cada unidade foram medidos, produzindo a tabela a seguir.
Identificaçāo do Robô
Programaçāo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Usual 80 90 93 92 75 92 72 87 90 86 78 97
Nova 100 85 90 102 90 99 97 95 100 94 89 98
(a) Faça uma análise descritiva adequada a estes dados. que pode ser dito, baseando-se nessa análise?
Considere a seguinte tabela
-1 0 3
15 8 -1
Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Lagrange utilizando todos os pontos.