2 [5 pontos] Use o Método de Gauss-Seidel para encontrar a solução do Sistema Linear de Equações abaixo.
Primeiro, manipule o Sistema para que seja Diagonalmente Dominante. Encontre a solução com uma precisão de
utilizando
. Considere o erro absoluto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss-Seidel. Primeiro, a gente vai arrumar as equações para que o sistema seja Diagonalmente Dominante. Depois, vamos aplicar o método iterativamente até conseguir uma solução com precisão de
. Vamos começar com a aproximação inicial
e considerar o erro absoluto.
Passo 2
Primeiro, precisamos manipular o sistema para que ele seja diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
O sistema original é:
Observando as equações:
- Na primeira equação, o coeficiente de
é 3 e o de é -6. Como , não é diagonalmente dominante. - Na segunda equação, o coeficiente de
é 1 e o de é 4. Como , também não é diagonalmente dominante.
Para corrigir isso, vamos trocar a ordem das equações:
Agora, verificando novamente:
- Na primeira equação,
→ OK. - Na segunda equação,
→ OK.
Agora o sistema está Diagonalmente Dominante!
Passo 3
Vamos reescrever as equações para isolar as variáveis, facilitando a aplicação do Método de Gauss-Seidel.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Método de Gauss-Seidel usando a aproximação inicial
.
Iteração 1:
Calculando
:
Calculando
:
Verificando o erro absoluto:
- Erro em
: (maior que ) - Erro em
: (maior que )
Como os erros ainda são maiores que
, precisamos de mais uma iteração.
Iteração 2:
Calculando
:
Calculando
:
Verificando o erro absoluto:
- Erro em
: (menor que ) - Erro em
: (menor que )
Como ambos os erros são menores que
, podemos parar as iterações.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo Método de Gauss-Seidel com precisão de
é: