2 [5 pontos] Use o Método de Gauss-Seidel para encontrar a solução do Sistema Linear de Equações abaixo.
Primeiro, manipule o Sistema para que seja Diagonalmente Dominante. Encontre a solução com uma precisão de utilizando . Considere o erro absoluto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss-Seidel. Primeiro, a gente vai arrumar as equações para que o sistema seja Diagonalmente Dominante. Depois, vamos aplicar o método iterativamente até conseguir uma solução com precisão de . Vamos começar com a aproximação inicial e considerar o erro absoluto.
Passo 2
Primeiro, precisamos manipular o sistema para que ele seja diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
O sistema original é:
Observando as equações:
Na primeira equação, o coeficiente de é 3 e o de é -6. Como , não é diagonalmente dominante.
Na segunda equação, o coeficiente de é 1 e o de é 4. Como , também não é diagonalmente dominante.
Para corrigir isso, vamos trocar a ordem das equações:
Agora, verificando novamente:
Na primeira equação, → OK.
Na segunda equação, → OK.
Agora o sistema está Diagonalmente Dominante!
Passo 3
Vamos reescrever as equações para isolar as variáveis, facilitando a aplicação do Método de Gauss-Seidel.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Método de Gauss-Seidel usando a aproximação inicial .
Iteração 1:
Calculando :
Calculando :
Verificando o erro absoluto:
Erro em : (maior que )
Erro em : (maior que )
Como os erros ainda são maiores que , precisamos de mais uma iteração.
Iteração 2:
Calculando :
Calculando :
Verificando o erro absoluto:
Erro em : (menor que )
Erro em : (menor que )
Como ambos os erros são menores que , podemos parar as iterações.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo Método de Gauss-Seidel com precisão de é: