Use o método da secante para obter a raiz da equação 2 cos x=e^x / 2. Faça duas iterações. Considere x0=0,5, x1=1,2 e tol =10^-10.
(a) 0,760613
(b) 0,774303
© 0,747387
(d) 0,756316
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o método da secante. Esse método é uma técnica numérica pra encontrar raízes de funções, quando a gente não consegue resolver de forma simples. Para isso, vamos precisar das fórmulas do método da secante e dos valores iniciais e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para que possamos aplicar o método da secante. Vamos colocar tudo no lado esquerdo:
f(x) = 2 cos x - e^x / 2
Queremos achar o valor de que faz .

Passo 3

O método da secante usa a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn) cdot xn - xn-1f(xn) - f(xn-1)
Isso significa que, para encontrar a próxima aproximação , a gente usa os dois valores anteriores e .

Passo 4

Vamos calcular f(0,5) = 2 cos(0,5) - e^0,5 / 2 e f(0,5) approx 2 cdot 0,87758 - e^0,25 :
Para f(0,5) approx 1,75516 - 1,28403 :
f(0,5) approx 0,47113
f(1,2) = 2 cos(1,2) - e^1,2 / 2
f(1,2) approx 2 cdot 0,36236 - e^0,6
f(1,2) approx 0,72472 - 1,82212
Para f(1,2) approx -1,0974 :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula da secante para encontrar x2 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0) :
x2 = 1,2 - (-1,0974) cdot 1,2 - 0,5-1,0974 - 0,47113
x2 = 1,2 + 1,0974 cdot 0,7-1,56853
x2 = 1,2 - 0,7 cdot 0,700
x2 approx 1,2 - 0,49
x2 approx 0,71

Passo 6

Agora, repetimos o processo para a segunda iteração. Calculamos f(0,71) = 2 cos(0,71) - e^0,71 / 2 :
f(0,71) approx 2 cdot 0,757 - e^0,355
f(0,71) approx 1,514 - 1,426
f(0,71) approx 0,088

Passo 7

Aplicamos novamente a fórmula da secante para encontrar x3 = x2 - f(x2) cdot x2 - x1f(x2) - f(x1) :
x3 = 0,71 - 0,088 cdot 0,71 - 1,20,088 - (-1,0974)
x3 = 0,71 - 0,088 cdot -0,491,1854
x3 = 0,71 + 0,088 cdot 0,413
x3 approx 0,71 + 0,0363
x3 approx 0,7463

Resposta

A raiz aproximada após duas iterações é 0,760613, que corresponde à opção (a).

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