Seja o sistema que segue e o vetor
. Através do método de Gauss-Jacobi obtenha o resultado após a terceira iteração.
(a)
X^(3)=[r0,9944 -1,9888 0,9984]
(b)
X^(3)=[r0,9985 -1,9990 1,0003]
©
X^(3)=[l1,0030 0,9990 1,0010]
(d)
X^(3)=[l1,0002 0,9998 0,9999]
(e) Não sei
(b)
©
(d)
(e) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o método de Gauss-Jacobi, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas de equações lineares. A gente tem o sistema de equações:
E o vetor inicial é:
Vamos precisar reorganizar as equações para isolar cada variável e depois aplicar as iterações do método até a terceira.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar cada equação para expressar uma variável em termos das outras. Assim:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
Passo 3
Agora que temos cada variável isolada, vamos aplicar o método de Gauss-Jacobi. Esse método usa o valor atual das variáveis para calcular os novos valores. Vamos partir do vetor inicial
X^(0) = [c0,7 -1,6 0,6] :
Vamos calcular
,
e
seguindo as equações reorganizadas.
Passo 4
Primeira iteração (
x1^(1) = 7 - 2(-1,6) - 0,610 = 7 + 3,2 - 0,610 = 9,610 = 0,96 ):
- Calculando
:x2^(1) = -8 - 0,7 - 0,65 = -9,35 = -1,86
- Calculando
:X^(1) = [c0,96 -1,86 0,94]
- Calculando
:
Então,
Passo 5
Segunda iteração (
x1^(2) = 7 - 2(-1,86) - 0,9410 = 7 + 3,72 - 0,9410 = 9,7810 = 0,978 ):
- Calculando
:x2^(2) = -8 - 0,96 - 0,945 = -9,95 = -1,98
- Calculando
:X^(2) = [c0,978 -1,98 0,966]
- Calculando
:
Então,
Passo 6
Terceira iteração (
x1^(3) = 7 - 2(-1,98) - 0,96610 = 7 + 3,96 - 0,96610 = 9,99410 = 0,9994 ):
- Calculando
:x2^(3) = -8 - 0,978 - 0,9665 = -9,9445 = -1,9888
- Calculando
:X^(3) = [c0,9994 -1,9888 0,9984]
- Calculando
:
Então,
Resposta
A resposta correta após a terceira iteração é a opção (a):