Seja o sistema que segue e o vetor X^(0)=[lll0,7 & -1,6 & 0,6]^t. Através do método de Gauss-Jacobi obtenha o resultado após a terceira iteração.
ccc 10 x1+2 x2+x3 & = & 7 x1+5 x2+x3 & = & -8 2 x1+3 x2+10 x3 & = & 6
(a) X^(3)=[r0,9944 -1,9888 0,9984]
(b) X^(3)=[r0,9985 -1,9990 1,0003]
© X^(3)=[l1,0030 0,9990 1,0010]
(d) X^(3)=[l1,0002 0,9998 0,9999]
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o método de Gauss-Jacobi, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas de equações lineares. A gente tem o sistema de equações:
ccc 10 x1+2 x2+x3 & = & 7 x1+5 x2+x3 & = & -8 2 x1+3 x2+10 x3 & = & 6
E o vetor inicial é:
X^(0)=[c0,7 -1,6 0,6]
Vamos precisar reorganizar as equações para isolar cada variável e depois aplicar as iterações do método até a terceira.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para expressar uma variável em termos das outras. Assim:
  1. Da primeira equação:
10 x1 + 2 x2 + x3 = 7 Rightarrow x1 = 7 - 2 x2 - x310
  1. Da segunda equação:
x1 + 5 x2 + x3 = -8 Rightarrow x2 = -8 - x1 - x35
  1. Da terceira equação:
2 x1 + 3 x2 + 10 x3 = 6 Rightarrow x3 = 6 - 2 x1 - 3 x210

Passo 3

Agora que temos cada variável isolada, vamos aplicar o método de Gauss-Jacobi. Esse método usa o valor atual das variáveis para calcular os novos valores. Vamos partir do vetor inicial X^(0) = [c0,7 -1,6 0,6] :
Vamos calcular , e seguindo as equações reorganizadas.

Passo 4

Primeira iteração ( x1^(1) = 7 - 2(-1,6) - 0,610 = 7 + 3,2 - 0,610 = 9,610 = 0,96 ):
  1. Calculando x2^(1) = -8 - 0,7 - 0,65 = -9,35 = -1,86 :
x3^(1) = 6 - 2(0,7) - 3(-1,6)10 = 6 - 1,4 + 4,810 = 9,410 = 0,94
  1. Calculando X^(1) = [c0,96 -1,86 0,94] :
  1. Calculando :
Então,

Passo 5

Segunda iteração ( x1^(2) = 7 - 2(-1,86) - 0,9410 = 7 + 3,72 - 0,9410 = 9,7810 = 0,978 ):
  1. Calculando x2^(2) = -8 - 0,96 - 0,945 = -9,95 = -1,98 :
x3^(2) = 6 - 2(0,96) - 3(-1,86)10 = 6 - 1,92 + 5,5810 = 9,6610 = 0,966
  1. Calculando X^(2) = [c0,978 -1,98 0,966] :
  1. Calculando :
Então,

Passo 6

Terceira iteração ( x1^(3) = 7 - 2(-1,98) - 0,96610 = 7 + 3,96 - 0,96610 = 9,99410 = 0,9994 ):
  1. Calculando x2^(3) = -8 - 0,978 - 0,9665 = -9,9445 = -1,9888 :
x3^(3) = 6 - 2(0,978) - 3(-1,98)10 = 6 - 1,956 + 5,9410 = 9,98410 = 0,9984
  1. Calculando X^(3) = [c0,9994 -1,9888 0,9984] :
  1. Calculando :
Então,

Resposta

A resposta correta após a terceira iteração é a opção (a):
X^(3) = [c0,9944 -1,9888 0,9984]

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