Considere a seguinte tabela
-1 0 3
15 8 -1
Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Lagrange utilizando todos os pontos.

Passo 1

Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Lagrange, com base na tabela de pontos fornecida. Vamos precisar entender o que é interpolação polinomial e como aplicar a fórmula de Lagrange para encontrar o polinômio que passa por todos esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é interpolação polinomial. Basicamente, quando temos um conjunto de pontos, queremos encontrar um polinômio que passe exatamente por todos eles. A fórmula de Lagrange é uma das maneiras de fazer isso. Ela nos dá uma forma sistemática de construir esse polinômio usando os pontos dados.

Passo 3

A fórmula de Lagrange para interpolação polinomial é dada por:
Onde cada é o polinômio base de Lagrange, definido por:
Aqui, é o número de pontos menos um. No nosso caso, temos 3 pontos, então .

Passo 4

Vamos identificar nossos pontos:
Agora, vamos calcular cada um dos :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Agora, vamos montar o polinômio :
Substituindo os :

Passo 9

Vamos simplificar cada termo:

Passo 10

Agora, somamos todos os termos:
Para somar essas frações, vamos trazer todos para o denominador comum, que é 12:

Passo 11

Somando os numeradores:
Então,

Passo 12

Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:

Resposta

O polinômio de interpolação de Lagrange que passa pelos pontos dados é:

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Identificaçāo do Robô
Programaçāo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Usual 80 90 93 92 75 92 72 87 90 86 78 97
Nova 100 85 90 102 90 99 97 95 100 94 89 98
(a) Faça uma análise descritiva adequada a estes dados. que pode ser dito, baseando-se nessa análise?
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0 1 2 4 6
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