Considere a seguinte tabela
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-1 | 0 | 3 |
---|---|---|---|
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15 | 8 | -1 |
Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Lagrange utilizando todos os pontos.
Passo 1
Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Lagrange, com base na tabela de pontos fornecida. Vamos precisar entender o que é interpolação polinomial e como aplicar a fórmula de Lagrange para encontrar o polinômio que passa por todos esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é interpolação polinomial. Basicamente, quando temos um conjunto de pontos, queremos encontrar um polinômio que passe exatamente por todos eles. A fórmula de Lagrange é uma das maneiras de fazer isso. Ela nos dá uma forma sistemática de construir esse polinômio usando os pontos dados.
Passo 3
A fórmula de Lagrange para interpolação polinomial é dada por:
Onde cada
é o polinômio base de Lagrange, definido por:
Aqui,
é o número de pontos menos um. No nosso caso, temos 3 pontos, então
.
Passo 4
Vamos identificar nossos pontos:
Agora, vamos calcular cada um dos
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Agora, vamos montar o polinômio
:
Substituindo os
:
Passo 9
Vamos simplificar cada termo:
Passo 10
Agora, somamos todos os termos:
Para somar essas frações, vamos trazer todos para o denominador comum, que é 12:
Passo 11
Somando os numeradores:
Então,
Passo 12
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Resposta
O polinômio de interpolação de Lagrange que passa pelos pontos dados é: