Considere a seguinte tabela
X -1 0 3
F(x) 15 8 -1
Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Lagrange utilizando todos os pontos.

Passo 1

Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Lagrange, com base na tabela de pontos fornecida. Vamos precisar entender o que é interpolação polinomial e como aplicar a fórmula de Lagrange para encontrar o polinômio que passa por todos esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é interpolação polinomial. Basicamente, quando temos um conjunto de pontos, queremos encontrar um polinômio que passe exatamente por todos eles. A fórmula de Lagrange é uma das maneiras de fazer isso. Ela nos dá uma forma sistemática de construir esse polinômio usando os pontos dados.

Passo 3

A fórmula de Lagrange para interpolação polinomial é dada por:
P(x) = sumi=0^n F(xi) cdot Li(x)
Onde cada Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj é o polinômio base de Lagrange, definido por:
Aqui, é o número de pontos menos um. No nosso caso, temos 3 pontos, então .

Passo 4

Vamos identificar nossos pontos:
(x0, F(x0)) = (-1, 15) (x1, F(x1)) = (0, 8) (x2, F(x2)) = (3, -1)
Agora, vamos calcular cada um dos :

Passo 5

Calculando L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) = (x - 0)(x - 3)(-1 - 0)(-1 - 3) = x(x - 3)(-1)(-4) = x(x - 3)4 :

Passo 6

Calculando L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) = (x - (-1))(x - 3)(0 - (-1))(0 - 3) = (x + 1)(x - 3)(1)(-3) = (x + 1)(x - 3)-3 :

Passo 7

Calculando L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) = (x - (-1))(x - 0)(3 - (-1))(3 - 0) = (x + 1)x(4)(3) = (x + 1)x12 :

Passo 8

Agora, vamos montar o polinômio P(x) = F(x0)L0(x) + F(x1)L1(x) + F(x2)L2(x) = 15 cdot L0(x) + 8 cdot L1(x) + (-1) cdot L2(x) :
P(x) = 15 cdot (x(x - 3)4) + 8 cdot ((x + 1)(x - 3)-3) + (-1) cdot ((x + 1)x12)
Substituindo os :

Passo 9

Vamos simplificar cada termo:
15 cdot x(x - 3)4 = 15x^2 - 45x4
8 cdot (x + 1)(x - 3)-3 = 8(-x^2 + 2x + 3)-3 = -8x^2 + 16x + 24-3 = 8x^2 - 16x - 243
-1 cdot (x + 1)x12 = -x^2 - x12

Passo 10

Agora, somamos todos os termos:
P(x) = 15x^2 - 45x4 + 8x^2 - 16x - 243 + -x^2 - x12
Para somar essas frações, vamos trazer todos para o denominador comum, que é 12:
P(x) = (15x^2 - 45x) cdot 312 + (8x^2 - 16x - 24) cdot 412 + -x^2 - x12
P(x) = 45x^2 - 135x12 + 32x^2 - 64x - 9612 + -x^2 - x12

Passo 11

Somando os numeradores:
45x^2 - 135x + 32x^2 - 64x - 96 - x^2 - x = (45 + 32 - 1)x^2 + (-135 - 64 - 1)x - 96 = 76x^2 - 200x - 96
Então,
P(x) = 76x^2 - 200x - 9612

Passo 12

Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
P(x) = 19x^2 - 50x - 243

Resposta

O polinômio de interpolação de Lagrange que passa pelos pontos dados é:
P(x) = 19x^2 - 50x - 243

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