Encontre o polinômio do segundo grau que interpola f(x) nos seguintes pontos:
x -1 1 3
f(x) -2 -1 2
b) Interpolação pela forma de Lagrange;

Passo 1

Ok, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar um polinômio do segundo grau que passe exatamente pelos três pontos dados: (-1, -2), (1, -1) e (3, 2). A gente vai usar a Interpolação de Lagrange, que é uma técnica para construir polinômios que passam por pontos específicos. Para isso, vamos precisar entender como montar os polinômios de base de Lagrange e depois somá-los para obter o polinômio final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio do segundo grau tem a forma geral:
P(x) = a x^2 + b x + c
Mas, para a Interpolação de Lagrange, a gente vai construir o polinômio como a soma de polinômios de base multiplicados pelos valores de P(x) = f(x0) cdot L0(x) + f(x1) cdot L1(x) + f(x2) cdot L2(x) nos pontos dados. A fórmula de Lagrange para três pontos é:
Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^2 x - xjxi - xj
Onde cada é um polinômio de base calculado por:

Passo 3

Vamos identificar nossos pontos:
  • ,
  • ,
  • ,
Agora, vamos calcular cada .

Passo 4

Calculando L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) = (x - 1)(x - 3)(-1 - 1)(-1 - 3) = (x - 1)(x - 3)(-2)(-4) = (x - 1)(x - 3)8 :

Passo 5

Calculando L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) = (x + 1)(x - 3)(1 + 1)(1 - 3) = (x + 1)(x - 3)2 cdot (-2) = (x + 1)(x - 3)-4 :

Passo 6

Calculando L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) = (x + 1)(x - 1)(3 + 1)(3 - 1) = (x + 1)(x - 1)4 cdot 2 = (x + 1)(x - 1)8 :

Passo 7

Agora, vamos montar o polinômio P(x) = f(x0) cdot L0(x) + f(x1) cdot L1(x) + f(x2) cdot L2(x) usando os P(x) = (-2) cdot (x - 1)(x - 3)8 + (-1) cdot (x + 1)(x - 3)-4 + 2 cdot (x + 1)(x - 1)8 que calculamos:
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
-2 cdot (x - 1)(x - 3)8 = -2(x^2 - 4x + 3)8 = -2x^2 + 8x - 68 = -x^2 + 4x - 34
  1. Segundo termo:
-1 cdot (x + 1)(x - 3)-4 = (x + 1)(x - 3)4 = x^2 - 2x - 34
  1. Terceiro termo:
2 cdot (x + 1)(x - 1)8 = 2(x^2 - 1)8 = 2x^2 - 28 = x^2 - 14

Passo 9

Agora, somamos os três termos simplificados:
P(x) = -x^2 + 4x - 34 + x^2 - 2x - 34 + x^2 - 14
Como todos têm o mesmo denominador, podemos somar os numeradores:
P(x) = (-x^2 + 4x - 3) + (x^2 - 2x - 3) + (x^2 - 1)4
Simplificando o numerador:
(-x^2 + x^2 + x^2) + (4x - 2x) + (-3 - 3 -1) = x^2 + 2x -7
Então:
P(x) = x^2 + 2x -74

Resposta

O polinômio do segundo grau que interpola P(x) = ,x^2 + 2x - 7,,4, nos pontos dados pela forma de Lagrange é:

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