Encontre o polinômio do segundo grau que interpola
nos seguintes pontos:
|
-1 | 1 | 3 |
---|---|---|---|
|
-2 | -1 | 2 |
b) Interpolação pela forma de Lagrange;
Passo 1
Ok, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar um polinômio do segundo grau que passe exatamente pelos três pontos dados: (-1, -2), (1, -1) e (3, 2). A gente vai usar a Interpolação de Lagrange, que é uma técnica para construir polinômios que passam por pontos específicos. Para isso, vamos precisar entender como montar os polinômios de base de Lagrange e depois somá-los para obter o polinômio final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio do segundo grau tem a forma geral:
Mas, para a Interpolação de Lagrange, a gente vai construir o polinômio como a soma de polinômios de base multiplicados pelos valores de
nos pontos dados. A fórmula de Lagrange para três pontos é:
Onde cada
é um polinômio de base calculado por:
Passo 3
Vamos identificar nossos pontos:
-
, -
, -
,
Agora, vamos calcular cada
.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Agora, vamos montar o polinômio
usando os
que calculamos:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 9
Agora, somamos os três termos simplificados:
Como todos têm o mesmo denominador, podemos somar os numeradores:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
O polinômio do segundo grau que interpola
nos pontos dados pela forma de Lagrange é: