Encontre o polinômio do segundo grau que interpola nos seguintes pontos:
-1
1
3
-2
-1
2
a) Pela resolução do sistema linear;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de segundo grau que passe pelos pontos dados: , e . Isso está dentro do conteúdo de Interpolação Polinomial, que basicamente nos ajuda a encontrar uma função que “intercepta” todos os pontos fornecidos. Para isso, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações lineares usando a forma geral de um polinômio de segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma geral de um polinômio de segundo grau:
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Como o polinômio deve passar pelos pontos dados, vamos substituir cada par na equação acima para formar um sistema de três equações.
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :
Passo 4
Agora temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Primeiro, vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar (a + b + c) - (a - b + c) = -1 - (-2) 2b = 1 b = 12 :
Então, encontramos que .
Passo 6
Agora, vamos substituir o valor de a + 0.5 + c = -1 a + c = -1.5 (Equação 4) na Equação 2 para encontrar uma relação entre e :
çã
Passo 7
Em seguida, substituímos 9a + 3(0.5) + c = 2 9a + 1.5 + c = 2 9a + c = 0.5 (Equação 5) na Equação 3:
çã
Passo 8
Agora temos duas equações com duas incógnitas:
a + c = -1.5 (Equação 4) 9a + c = 0.5 (Equação 5) çãçã
Vamos subtrair a Equação 4 da Equação 5 para eliminar (9a + c) - (a + c) = 0.5 - (-1.5) 8a = 2 a = 28 a = 0.25 :
Passo 9
Com o valor de 0.25 + c = -1.5 c = -1.5 - 0.25 c = -1.75 , podemos substituir na Equação 4 para encontrar :
Resposta
Então, o polinômio de segundo grau que interpola os pontos dados é: