Encontre o polinômio do segundo grau que interpola f(x) nos seguintes pontos:
x -1 1 3
f(x) -2 -1 2
a) Pela resolução do sistema linear;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de segundo grau que passe pelos pontos dados: , e . Isso está dentro do conteúdo de Interpolação Polinomial, que basicamente nos ajuda a encontrar uma função que “intercepta” todos os pontos fornecidos. Para isso, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações lineares usando a forma geral de um polinômio de segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral de um polinômio de segundo grau:
f(x) = ax^2 + bx + c
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Como o polinômio deve passar pelos pontos dados, vamos substituir cada par -2 = a(-1)^2 + b(-1) + c -2 = a - b + c (Equação 1) na equação acima para formar um sistema de três equações.
Para o ponto -1 = a(1)^2 + b(1) + c -1 = a + b + c (Equação 2) :
2 = a(3)^2 + b(3) + c 2 = 9a + 3b + c (Equação 3) çã
Para o ponto :
çã
Para o ponto :
çã

Passo 4

Agora temos o sistema de equações:
a - b + c = -2 (Equação 1) a + b + c = -1 (Equação 2) 9a + 3b + c = 2 (Equação 3) çãçãçã
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar (a + b + c) - (a - b + c) = -1 - (-2) 2b = 1 b = 12 :
Então, encontramos que .

Passo 6

Agora, vamos substituir o valor de a + 0.5 + c = -1 a + c = -1.5 (Equação 4) na Equação 2 para encontrar uma relação entre e :
çã

Passo 7

Em seguida, substituímos 9a + 3(0.5) + c = 2 9a + 1.5 + c = 2 9a + c = 0.5 (Equação 5) na Equação 3:
çã

Passo 8

Agora temos duas equações com duas incógnitas:
a + c = -1.5 (Equação 4) 9a + c = 0.5 (Equação 5) çãçã
Vamos subtrair a Equação 4 da Equação 5 para eliminar (9a + c) - (a + c) = 0.5 - (-1.5) 8a = 2 a = 28 a = 0.25 :

Passo 9

Com o valor de 0.25 + c = -1.5 c = -1.5 - 0.25 c = -1.75 , podemos substituir na Equação 4 para encontrar :

Resposta

Então, o polinômio de segundo grau que interpola os pontos dados é:
f(x) = 0.25x^2 + 0.5x - 1.75

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