Achar uma aproximação em mínimos quadrados da forma
para o conjunto de dados
x | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 |
---|---|---|---|---|---|---|
y | 5.02 | 5.21 | 6.49 | 9.54 | 16.02 | 24.53 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação usando o método dos mínimos quadrados para a função da forma
. Isso significa que queremos ajustar essa função aos dados que temos para encontrar os melhores valores para
e
. Vamos precisar entender um pouquinho sobre ajuste de curvas e sistemas de equações lineares para fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os dados que temos:
|
0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
5.02 | 5.21 | 6.49 | 9.54 | 16.02 | 24.53 |
Nosso objetivo é encontrar
e
que façam a função
se ajustar melhor possível a esses pontos, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores preditos pela função.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações usando o método dos mínimos quadrados. Para cada par
, temos:
Queremos minimizar a soma dos quadrados das diferenças:
Para isso, derivamos
em relação a
e
e igualamos a zero, o que nos dá um sistema linear.
Passo 4
Vamos calcular as somas necessárias para montar o sistema:
Primeiro, calculamos cada termo:
Agora, somamos cada coluna:
Passo 5
Agora, nosso sistema fica assim:
Vamos escrever isso de forma matricial:
[
]
Passo 6
Para resolver esse sistema, podemos usar a regra de Cramer ou métodos de eliminação. Vamos usar a regra de Cramer aqui.
Primeiro, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
Agora, calculamos os determinantes para
e
:
Então,
Resposta
Os valores aproximados dos coeficientes são
e
. Portanto, a aproximação em mínimos quadrados é: