Achar uma aproximação em mínimos quadrados da forma
y=c1 e^x+c2 e^-x
para o conjunto de dados
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5
y 5.02 5.21 6.49 9.54 16.02 24.53

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação usando o método dos mínimos quadrados para a função da forma . Isso significa que queremos ajustar essa função aos dados que temos para encontrar os melhores valores para e . Vamos precisar entender um pouquinho sobre ajuste de curvas e sistemas de equações lineares para fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os dados que temos:
0 0.5 1 1.5 2 2.5
5.02 5.21 6.49 9.54 16.02 24.53
Nosso objetivo é encontrar e que façam a função se ajustar melhor possível a esses pontos, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores preditos pela função.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações usando o método dos mínimos quadrados. Para cada par yi = c1 e^xi + c2 e^-xi , temos:
S = sumi=1^6 ( yi - c1 e^xi - c2 e^-xi )^2
Queremos minimizar a soma dos quadrados das diferenças:
Para isso, derivamos em relação a e e igualamos a zero, o que nos dá um sistema linear.

Passo 4

Vamos calcular as somas necessárias para montar o sistema:
sum yi e^xi &= c1 sum e^2xi + c2 sum 1 sum yi e^-xi &= c1 sum 1 + c2 sum e^-2xi
Primeiro, calculamos cada termo:
ccc xi & yi e^xi & yi e^-xi 0 & 5.02 times e^0 = 5.02 & 5.02 times e^0 = 5.02 0.5 & 5.21 times e^0.5 approx 5.21 times 1.6487 approx 8.59 & 5.21 times e^-0.5 approx 5.21 times 0.6065 approx 3.16 1 & 6.49 times e^1 approx 6.49 times 2.7183 approx 17.60 & 6.49 times e^-1 approx 6.49 times 0.3679 approx 2.38 1.5 & 9.54 times e^1.5 approx 9.54 times 4.4817 approx 42.76 & 9.54 times e^-1.5 approx 9.54 times 0.2231 approx 2.13 2 & 16.02 times e^2 approx 16.02 times 7.3891 approx 118.37 & 16.02 times e^-2 approx 16.02 times 0.1353 approx 2.17 2.5 & 24.53 times e^2.5 approx 24.53 times 12.1825 approx 298.12 & 24.53 times e^-2.5 approx 24.53 times 0.0821 approx 2.01
Agora, somamos cada coluna:
sum yi e^xi approx 5.02 + 8.59 + 17.60 + 42.76 + 118.37 + 298.12 = 490.46
sum yi e^-xi approx 5.02 + 3.16 + 2.38 + 2.13 + 2.17 + 2.01 = 16.87
sum e^2xi = e^0 + e^1 + e^2 + e^3 + e^4 + e^5 approx 1 + 2.7183 + 7.3891 + 20.0855 + 54.5982 + 148.4132 = 234.203
sum e^-2xi = e^0 + e^-1 + e^-2 + e^-3 + e^-4 + e^-5 approx 1 + 0.3679 + 0.1353 + 0.0498 + 0.0183 + 0.0067 = 1.5779
sum 1 = 6

Passo 5

Agora, nosso sistema fica assim:
490.46 = c1 times 234.203 + c2 times 6 16.87 = c1 times 6 + c2 times 1.5779
Vamos escrever isso de forma matricial:

[
234.203 & 6 6 & 1.5779 c1 c2 = 490.46 16.87


]

Passo 6

Para resolver esse sistema, podemos usar a regra de Cramer ou métodos de eliminação. Vamos usar a regra de Cramer aqui.
Primeiro, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
De
Agora, calculamos os determinantes para De e De:
c1 = De
c2 = De
Então,

Resposta

Os valores aproximados dos coeficientes são y approx 2.02 , e^x + 3.02 , e^-x e . Portanto, a aproximação em mínimos quadrados é:

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