O consumo de gás natural sofre uma redução significativa durante os meses de verão europeu. Na tabela seguinte, estão registados alguns valores recolhidos ao longo de um ano.
mês 1 3 4 6 9 12
consumo 20 7.5 6.5 7 10 A
Uma companhia de gás sugeriu um modelo do tipo f(x)=c1 x^2+c2 1x para prever o consumo em qualquer período do ano. Com base nesse modelo, ajuste o conjunto de dados no sentido de mínimos quadrados em função do valor de A. Para A=15, qual seria o consumo para o mês 5 ? E para o mês 13 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dados sobre o consumo de gás natural em vários meses do ano e queremos usar esses dados para prever o consumo em qualquer período usando um modelo matemático. O modelo sugerido é do tipo , onde representa o mês e é o consumo de gás. Nosso objetivo é ajustar esse modelo aos dados fornecidos usando o método dos mínimos quadrados para encontrar os valores de e em função de (o consumo no mês 12). Depois, com , vamos prever o consumo para os meses 5 e 13.

Passo 2

Vamos organizar os dados fornecidos:
Mês ( ) 1 3 4 6 9 12
Consumo ( ) 20 7.5 6.5 7 10
Queremos ajustar o modelo a esses dados. Para isso, usaremos o método dos mínimos quadrados, que nos ajuda a encontrar os melhores valores de e que minimizam a diferença entre os valores observados e os valores previstos pelo modelo.

Passo 3

O método dos mínimos quadrados envolve minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados ( S = sumi=1^n ( yi - (c1 xi^2 + c2 1xi) )^2 ) e os valores previstos pelo modelo ( ). A expressão matemática para isso é:
Nosso objetivo é encontrar e que minimizam .

Passo 4

Para minimizar partial Spartial c1 = -2 sumi=1^n xi^2 (yi - c1 xi^2 - c2 1xi) ) = 0 , precisamos calcular as derivadas parciais de partial Spartial c2 = -2 sumi=1^n 1xi (yi - c1 xi^2 - c2 1xi) ) = 0 em relação a sumi=1^n xi^2 yi = c1 sumi=1^n xi^4 + c2 sumi=1^n xi e sumi=1^n yixi = c1 sumi=1^n xi^2 + c2 sumi=1^n 1xi^2 e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar e .
Vamos calcular:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os somatórios necessários usando os dados fornecidos. Lembre-se que sum xi^2 yi = (1^2 cdot 20) + (3^2 cdot 7.5) + (4^2 cdot 6.5) + (6^2 cdot 7) + (9^2 cdot 10) + (12^2 cdot A) = 20 + 67.5 + 104 + 252 + 810 + 144 A é o consumo no mês 12.
Calculando os somatórios:
sum xi^4 = 1^4 + 3^4 + 4^4 + 6^4 + 9^4 + 12^4 = 1 + 81 + 256 + 1296 + 6561 + 20736 = 28831
sum xi = 1 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 = 35
sum yixi = 201 + 7.53 + 6.54 + 76 + 109 + A12 = 20 + 2.5 + 1.625 + 1.1667 + 1.1111 + A12
sum xi^2 = 1^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 9^2 + 12^2 = 1 + 9 + 16 + 36 + 81 + 144 = 287
sum 1xi^2 = 11^2 + 13^2 + 14^2 + 16^2 + 19^2 + 112^2 = 1 + 19 + 116 + 136 + 181 + 1144
sum xi^2 yi = 20 + 67.5 + 104 + 252 + 810 + 144 A = 1253.5 + 144 A
Calculando os valores numéricos:
sum yixi approx 20 + 2.5 + 1.625 + 1.1667 + 1.1111 + A12 approx 26.402 + A12
sum 1xi^2 = 1 + 0.1111 + 0.0625 + 0.0278 + 0.0123 + 0.0069 approx 1.2208

Passo 6

Substituindo os valores nos sistemas de equações:
1253.5 + 144 A = c1 cdot 28831 + c2 cdot 35
26.402 + A12 = c1 cdot 287 + c2 cdot 1.2208
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ) em termos de .

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar 28831 c1 + 35 c2 = 1253.5 + 144 A (1) e 287 c1 + 1.2208 c2 = 26.402 + A12 (2) :
Primeira equação:
c2 = 26.402 + A12 - 287 c11.2208
Segunda equação:
28831 c1 + 35 ( 26.402 + A12 - 287 c11.2208 ) = 1253.5 + 144 A
Podemos resolver esse sistema usando o método de eliminação ou substituição. Vamos utilizar o método de substituição.
Da equação (2):
Agora, substituímos na equação (1):
Resolvendo essa equação para , podemos então encontrar .
Por simplicidade, e para evitar cálculos muito extensos, consideraremos que, com , poderemos resolver numericamente.

Passo 8

Vamos agora substituir 28831 c1 + 35 c2 = 1253.5 + 144 times 15 = 1253.5 + 2160 = 3413.5 nas equações e resolver numericamente.
Primeira equação com 28831 c1 + 35 c2 = 3413.5 (1A) :
287 c1 + 1.2208 c2 = 26.402 + 1512 = 26.402 + 1.25 = 27.652
287 c1 + 1.2208 c2 = 27.652 (2A)
Segunda equação com 35 times 287 c1 + 35 times 1.2208 c2 = 35 times 27.652 :
10045 c1 + 42.728 c2 = 967.82 (2B)
28831 c1 + 35 c2 = 3413.5 (1A)
Agora, vamos resolver o sistema (1A) e (2A).
Multiplicamos a equação (2A) por 35 para facilitar a eliminação:
10045 c1 + 42.728 c2 = 967.82 (2B)
35 c2 = 3413.5 - 28831 c1
Agora, temos:
c2 = 3413.5 - 28831 c135
10045 c1 + 42.728 ( 3413.5 - 28831 c135 ) = 967.82
Podemos resolver esse sistema usando métodos como substituição ou matriz. Para simplificar, usaremos a substituição.
Vamos resolver a equação (1A) para 10045 c1 + 42.72835 times 3413.5 - 42.72835 times 28831 c1 = 967.82 :
10045 c1 + 4159.3 - 35134.8 c1 = 967.82
(10045 - 35134.8) c1 = 967.82 - 4159.3
Substituímos -25089.8 c1 = -3191.48 na equação (2B):
c1 = -3191.48-25089.8 approx 0.1272
Simplificando:
c2 = 3413.5 - 28831 times 0.127235 = 3413.5 - 3665.5635 = -252.0635 approx -7.202
Agora, substituímos na expressão de :

Passo 9

Agora que temos os valores de c1 approx 0.1272 e c2 approx -7.202 :
Podemos usar o modelo para prever o consumo nos meses 5 e 13.

Passo 10

Vamos aplicar o modelo f(5) = 0.1272 times 5^2 + (-7.202) times 15 = 0.1272 times 25 - 7.202 times 0.2 = 3.18 - 1.4404 = 1.7396 :
Para o mês 5:
f(13) = 0.1272 times 13^2 + (-7.202) times 113 = 0.1272 times 169 - 7.202 times 0.0769 approx 21.499 - 0.553 approx 20.946
Para o mês 13:

Resposta

Para , o consumo previsto é aproximadamente unidades no mês 5 e unidades no mês 13.

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