O consumo de gás natural sofre uma redução significativa durante os meses de verão europeu. Na tabela seguinte, estão registados alguns valores recolhidos ao longo de um ano.
mês | 1 | 3 | 4 | 6 | 9 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|
consumo | 20 | 7.5 | 6.5 | 7 | 10 | A |
Uma companhia de gás sugeriu um modelo do tipo
para prever o consumo em qualquer período do ano. Com base nesse modelo, ajuste o conjunto de dados no sentido de mínimos quadrados em função do valor de
. Para
, qual seria o consumo para o mês 5 ? E para o mês 13 ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dados sobre o consumo de gás natural em vários meses do ano e queremos usar esses dados para prever o consumo em qualquer período usando um modelo matemático. O modelo sugerido é do tipo
, onde
representa o mês e
é o consumo de gás. Nosso objetivo é ajustar esse modelo aos dados fornecidos usando o método dos mínimos quadrados para encontrar os valores de
e
em função de
(o consumo no mês 12). Depois, com
, vamos prever o consumo para os meses 5 e 13.
Passo 2
Vamos organizar os dados fornecidos:
Mês (
|
1 | 3 | 4 | 6 | 9 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|
Consumo (
|
20 | 7.5 | 6.5 | 7 | 10 |
|
Queremos ajustar o modelo
a esses dados. Para isso, usaremos o método dos mínimos quadrados, que nos ajuda a encontrar os melhores valores de
e
que minimizam a diferença entre os valores observados e os valores previstos pelo modelo.
Passo 3
O método dos mínimos quadrados envolve minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados (
) e os valores previstos pelo modelo (
). A expressão matemática para isso é:
Nosso objetivo é encontrar
e
que minimizam
.
Passo 4
Para minimizar
, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar
e
.
Vamos calcular:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular os somatórios necessários usando os dados fornecidos. Lembre-se que
é o consumo no mês 12.
Calculando os somatórios:
Calculando os valores numéricos:
Passo 6
Substituindo os valores nos sistemas de equações:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
) em termos de
.
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar
e
:
Primeira equação:
Segunda equação:
Podemos resolver esse sistema usando o método de eliminação ou substituição. Vamos utilizar o método de substituição.
Da equação (2):
Agora, substituímos
na equação (1):
Resolvendo essa equação para
, podemos então encontrar
.
Por simplicidade, e para evitar cálculos muito extensos, consideraremos que, com
, poderemos resolver numericamente.
Passo 8
Vamos agora substituir
nas equações e resolver numericamente.
Primeira equação com
:
Segunda equação com
:
Agora, vamos resolver o sistema (1A) e (2A).
Multiplicamos a equação (2A) por 35 para facilitar a eliminação:
Agora, temos:
Podemos resolver esse sistema usando métodos como substituição ou matriz. Para simplificar, usaremos a substituição.
Vamos resolver a equação (1A) para
:
Substituímos
na equação (2B):
Simplificando:
Agora, substituímos
na expressão de
:
Passo 9
Agora que temos os valores de
e
:
Podemos usar o modelo para prever o consumo nos meses 5 e 13.
Passo 10
Vamos aplicar o modelo
:
Para o mês 5:
Para o mês 13:
Resposta
Para
, o consumo previsto é aproximadamente
unidades no mês 5 e
unidades no mês 13.