A resistência R de um fio metálico varia em função do raio r. Foram coletadas 4 medidas para diferentes espessuras, organizadas na tabela abaixo.
r 1.5 2 2.5 4
R 5 4.3 3 2
Estime utilizando uma reta, uma parábola e uma cúbica o valor da resistência do condutor para um raio de 1.75 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como a resistência de um fio metálico muda conforme o raio varia. A gente tem uma tabela com 4 medidas de diferentes espessuras. Nosso objetivo é estimar a resistência quando o raio for 1.75 usando três modelos diferentes: uma reta (modelo linear), uma parábola (modelo quadrático) e uma cúbica (modelo cúbico). Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre regressão linear, quadrática e cúbica, que são métodos para ajustar uma curva aos dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
1.5 2 2.5 4
5 4.3 3 2
Vamos começar com a reta, ou seja, um modelo linear que tem a forma . A ideia é encontrar os valores de e que melhor se ajustam aos nossos dados.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes barr = 1.5 + 2 + 2.5 + 44 = 104 = 2.5 e barR = 5 + 4.3 + 3 + 24 = 14.34 = 3.575 da reta, usamos a fórmula da regressão linear. Precisamos calcular a média de a = sum (ri - barr)(Ri - barR)sum (ri - barr)^2 e a = (1.5-2.5)(5-3.575) + (2-2.5)(4.3-3.575) + (2.5-2.5)(3-3.575) + (4-2.5)(2-3.575)(1.5-2.5)^2 + (2-2.5)^2 + (2.5-2.5)^2 + (4-2.5)^2 , depois usar essas médias para encontrar a = (-1)(1.425) + (-0.5)(0.725) + (0)(-0.575) + (1.5)(-1.575)1 + 0.25 + 0 + 2.25 = -1.425 - 0.3625 + 0 - 2.36253.5 = -4.153.5 approx -1.1857 e b = barR - a cdot barr = 3.575 - (-1.1857) cdot 2.5 = 3.575 + 2.9643 approx 6.5393 .
Calculando as médias:
R = -1.1857 cdot r + 6.5393
Agora, calculamos o coeficiente :
Fazendo os cálculos:
Agora, calculamos :
Então, a equação da reta é:

Passo 4

Agora que temos a equação da reta, podemos estimar a resistência para R = -1.1857 cdot 1.75 + 6.5393 approx -2.075 + 6.5393 approx 4.4643 :
Portanto, usando o modelo linear, a resistência estimada é aproximadamente 4.464 Ω.

Passo 5

Vamos passar para a parábola, ou seja, um modelo quadrático da forma 5 = a cdot (1.5)^2 + b cdot 1.5 + c 4.3 = a cdot (2)^2 + b cdot 2 + c 3 = a cdot (2.5)^2 + b cdot 2.5 + c . Aqui, precisamos encontrar os coeficientes 5 = 2.25a + 1.5b + c 4.3 = 4a + 2b + c 3 = 6.25a + 2.5b + c , (4a + 2b + c) - (2.25a + 1.5b + c) = 4.3 - 5 1.75a + 0.5b = -0.7 (Equação 4) e (6.25a + 2.5b + c) - (4a + 2b + c) = 3 - 4.3 2.25a + 0.5b = -1.3 (Equação 5) que melhor ajustam nossos dados.
Como temos 4 pontos, podemos usar três deles para montar um sistema de equações e resolver para (2.25a + 0.5b) - (1.75a + 0.5b) = -1.3 - (-0.7) 0.5a = -0.6 a = -1.2 , 1.75(-1.2) + 0.5b = -0.7 -2.1 + 0.5b = -0.7 0.5b = 1.4 b = 2.8 e 5 = 2.25(-1.2) + 1.5(2.8) + c 5 = -2.7 + 4.2 + c 5 = 1.5 + c c = 3.5 .
Vamos usar os pontos R = -1.2 cdot r^2 + 2.8 cdot r + 3.5 , e .
Escrevendo as equações:
Simplificando:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
çã
Subtraindo a segunda da terceira:
çã
Agora, subtraindo a Equação 4 da Equação 5:
Substituindo na Equação 4:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Então, a equação da parábola é:

Passo 6

Agora, vamos estimar R = -1.2 cdot (1.75)^2 + 2.8 cdot 1.75 + 3.5 para R = -1.2 cdot 3.0625 + 4.9 + 3.5 R = -3.675 + 4.9 + 3.5 R = 4.725 usando a parábola:
Calculando:
Portanto, usando o modelo quadrático, a resistência estimada é aproximadamente 4.725 Ω.

Passo 7

Por último, vamos usar o modelo cúbico, que tem a forma 5 = a cdot (1.5)^3 + b cdot (1.5)^2 + c cdot 1.5 + d 4.3 = a cdot (2)^3 + b cdot (2)^2 + c cdot 2 + d 3 = a cdot (2.5)^3 + b cdot (2.5)^2 + c cdot 2.5 + d 2 = a cdot (4)^3 + b cdot (4)^2 + c cdot 4 + d . Como temos 4 pontos, podemos ajustar exatamente um polinômio cúbico que passa por todos eles.
Usaremos os pontos 5 = 3.375a + 2.25b + 1.5c + d 4.3 = 8a + 4b + 2c + d 3 = 15.625a + 6.25b + 2.5c + d 2 = 64a + 16b + 4c + d , (8a + 4b + 2c + d) - (3.375a + 2.25b + 1.5c + d) = 4.3 - 5 4.625a + 1.75b + 0.5c = -0.7 (Equação A) , (15.625a + 6.25b + 2.5c + d) - (8a + 4b + 2c + d) = 3 - 4.3 7.625a + 2.25b + 0.5c = -1.3 (Equação B) e (64a + 16b + 4c + d) - (15.625a + 6.25b + 2.5c + d) = 2 - 3 48.375a + 9.75b + 1.5c = -1 (Equação C) para montar um sistema de equações:
4.625a + 1.75b + 0.5c = -0.7 7.625a + 2.25b + 0.5c = -1.3 48.375a + 9.75b + 1.5c = -1
Simplificando:
(7.625a + 2.25b + 0.5c) - (4.625a + 1.75b + 0.5c) = -1.3 - (-0.7) 3a + 0.5b = -0.6 (Equação D)
Resolver esse sistema manualmente é um pouco trabalhoso, então vamos usar métodos de substituição ou matriz. Para simplificar, vamos resolver passo a passo:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
48.375a + 9.75b + 1.5c - 3(4.625a + 1.75b + 0.5c) = -1 - 3(-0.7) 48.375a + 9.75b + 1.5c - 13.875a - 5.25b - 1.5c = -1 + 2.1 34.5a + 4.5b = 1.1 (Equação E) çã
Subtraindo a segunda da terceira:
3a + 0.5b = -0.6 34.5a + 4.5b = 1.1 çã
Subtraindo a terceira da quarta:
27a + 4.5b = -5.4 (Equação F) çã
Agora, temos o sistema com Equações A, B e C:
(34.5a + 4.5b) - (27a + 4.5b) = 1.1 - (-5.4) 7.5a = 6.5 a = 6.57.5 approx 0.8667
Vamos subtrair a Equação A da Equação B:
3(0.8667) + 0.5b = -0.6 2.6 + 0.5b = -0.6 0.5b = -3.2 b = -6.4 çã
Vamos subtrair 3 vezes a Equação A da Equação C:
4.625(0.8667) + 1.75(-6.4) + 0.5c = -0.7 4.0 - 11.2 + 0.5c = -0.7 -7.2 + 0.5c = -0.7 0.5c = 6.5 c = 13 çã
Agora, temos Equações D e E:
5 = 3.375(0.8667) + 2.25(-6.4) + 1.5(13) + d 5 = 2.916 + (-14.4) + 19.5 + d 5 = 7.016 + d d = -2.016
Multiplicando a Equação D por 9 para facilitar:
R = 0.8667 cdot r^3 - 6.4 cdot r^2 + 13 cdot r - 2.016 çã
Subtraindo a Equação F da Equação E:
Substituindo na Equação D:
Agora, usando e na Equação A:
Finalmente, substituindo , e na primeira equação original:
Então, a equação cúbica é:

Passo 8

Agora, vamos estimar R = 0.8667 cdot (1.75)^3 - 6.4 cdot (1.75)^2 + 13 cdot 1.75 - 2.016 para 1.75^3 = 5.3594 1.75^2 = 3.0625 usando a cúbica:
R = 0.8667 cdot 5.3594 - 6.4 cdot 3.0625 + 22.75 - 2.016 R approx 4.642 - 19.6 + 22.75 - 2.016 R approx 5.776
Calculando passo a passo:
Substituindo:
Portanto, usando o modelo cúbico, a resistência estimada é aproximadamente 5.776 Ω.

Resposta

Para , as resistências estimadas são:
  • Reta (linear): 4.464 Ω
  • Parábola (quadrático): 4.725 Ω
  • Cúbica: 5.776 Ω

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