A resistência de um fio metálico varia em função do raio . Foram coletadas 4 medidas para diferentes espessuras, organizadas na tabela abaixo.
1.5
2
2.5
4
5
4.3
3
2
Estime utilizando uma reta, uma parábola e uma cúbica o valor da resistência do condutor para um raio de 1.75 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como a resistência de um fio metálico muda conforme o raio varia. A gente tem uma tabela com 4 medidas de diferentes espessuras. Nosso objetivo é estimar a resistência quando o raio for 1.75 usando três modelos diferentes: uma reta (modelo linear), uma parábola (modelo quadrático) e uma cúbica (modelo cúbico). Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre regressão linear, quadrática e cúbica, que são métodos para ajustar uma curva aos dados que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
1.5
2
2.5
4
5
4.3
3
2
Vamos começar com a reta, ou seja, um modelo linear que tem a forma . A ideia é encontrar os valores de e que melhor se ajustam aos nossos dados.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes e da reta, usamos a fórmula da regressão linear. Precisamos calcular a média de e , depois usar essas médias para encontrar e .
Calculando as médias:
Agora, calculamos o coeficiente :
Fazendo os cálculos:
Agora, calculamos :
Então, a equação da reta é:
Passo 4
Agora que temos a equação da reta, podemos estimar a resistência para :
Portanto, usando o modelo linear, a resistência estimada é aproximadamente 4.464 Ω.
Passo 5
Vamos passar para a parábola, ou seja, um modelo quadrático da forma . Aqui, precisamos encontrar os coeficientes , e que melhor ajustam nossos dados.
Como temos 4 pontos, podemos usar três deles para montar um sistema de equações e resolver para , e .
Vamos usar os pontos , e .
Escrevendo as equações:
Simplificando:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
çã
Subtraindo a segunda da terceira:
çã
Agora, subtraindo a Equação 4 da Equação 5:
Substituindo na Equação 4:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Então, a equação da parábola é:
Passo 6
Agora, vamos estimar R = -1.2 cdot (1.75)^2 + 2.8 cdot 1.75 + 3.5 para R = -1.2 cdot 3.0625 + 4.9 + 3.5 R = -3.675 + 4.9 + 3.5 R = 4.725 usando a parábola:
Calculando:
Portanto, usando o modelo quadrático, a resistência estimada é aproximadamente 4.725 Ω.
Passo 7
Por último, vamos usar o modelo cúbico, que tem a forma 5 = a cdot (1.5)^3 + b cdot (1.5)^2 + c cdot 1.5 + d 4.3 = a cdot (2)^3 + b cdot (2)^2 + c cdot 2 + d 3 = a cdot (2.5)^3 + b cdot (2.5)^2 + c cdot 2.5 + d 2 = a cdot (4)^3 + b cdot (4)^2 + c cdot 4 + d . Como temos 4 pontos, podemos ajustar exatamente um polinômio cúbico que passa por todos eles.
Usaremos os pontos 5 = 3.375a + 2.25b + 1.5c + d 4.3 = 8a + 4b + 2c + d 3 = 15.625a + 6.25b + 2.5c + d 2 = 64a + 16b + 4c + d , (8a + 4b + 2c + d) - (3.375a + 2.25b + 1.5c + d) = 4.3 - 5 4.625a + 1.75b + 0.5c = -0.7 (Equação A) , (15.625a + 6.25b + 2.5c + d) - (8a + 4b + 2c + d) = 3 - 4.3 7.625a + 2.25b + 0.5c = -1.3 (Equação B) e (64a + 16b + 4c + d) - (15.625a + 6.25b + 2.5c + d) = 2 - 3 48.375a + 9.75b + 1.5c = -1 (Equação C) para montar um sistema de equações:
Resolver esse sistema manualmente é um pouco trabalhoso, então vamos usar métodos de substituição ou matriz. Para simplificar, vamos resolver passo a passo: