Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a parábola mais próxima dos pontos (xi, yi) para a função y=f(x) tabelada abaixo. Calcule o desvio cometido.
x -3 -1 1 2 3
y -1 0 1 1 -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a parábola que melhor se ajusta aos pontos dados usando o método dos mínimos quadrados. Isso pertence ao conteúdo de ajuste de curvas e regressão polinomial. Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações que nos ajude a determinar os coeficientes da parábola que melhor se encaixa nos pontos fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados ( S = sumi=1^n ( yi - (axi^2 + bxi + c) )^2 ) e os valores estimados pela nossa parábola ( ). Ou seja, queremos minimizar:

Passo 3

Para minimizar sum yi = a sum xi^2 + b sum xi + c sum 1 sum xi yi = a sum xi^3 + b sum xi^2 + c sum xi sum xi^2 yi = a sum xi^4 + b sum xi^3 + c sum xi^2 , derivamos parcialmente em relação a , e e igualamos a zero, formando assim o sistema de equações normais:

Passo 4

Agora, vamos calcular todas as somas necessárias com os pontos dados:
c|ccccc x & -3 & -1 & 1 & 2 & 3 hline y & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 x^2 & 9 & 1 & 1 & 4 & 9 x^3 & -27 & -1 & 1 & 8 & 27 x^4 & 81 & 1 & 1 & 16 & 81 x y & 3 & 0 & 1 & 2 & -3 x^2 y & 9 & 0 & 1 & 4 & -9
Calculando as somas:
sum yi &= -1 + 0 + 1 + 1 + (-1) = 0 sum xi &= -3 + (-1) + 1 + 2 + 3 = 2 sum xi^2 &= 9 + 1 + 1 + 4 + 9 = 24 sum xi^3 &= -27 + (-1) + 1 + 8 + 27 = 8 sum xi^4 &= 81 + 1 + 1 + 16 + 81 = 180 sum xi yi &= 3 + 0 + 1 + 2 + (-3) = 3 sum xi^2 yi &= 9 + 0 + 1 + 4 + (-9) = 5

Passo 5

Substituindo as somas no sistema de equações normais:
0 = a cdot 24 + b cdot 2 + c cdot 5 3 = a cdot 8 + b cdot 24 + c cdot 2 5 = a cdot 180 + b cdot 8 + c cdot 24
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 6

Podemos resolver o sistema usando métodos como substituição ou eliminação. Vamos simplificar:
  1. Da primeira equação:
0 = 24a + 2b + 5c Rightarrow 24a + 2b + 5c = 0 (1)
  1. Da segunda equação:
3 = 8a + 24b + 2c Rightarrow 8a + 24b + 2c = 3 (2)
  1. Da terceira equação:
5 = 180a + 8b + 24c Rightarrow 180a + 8b + 24c = 5 (3)
Vamos simplificar o sistema. Dividindo a equação (2) por 2:
4a + 12b + c = 1.5 (2a)
Agora, vamos multiplicar a equação (1) por 1 para facilitar:
24a + 2b + 5c = 0 (1)
Podemos tentar eliminar uma variável. Por exemplo, eliminando 20a + 60b + 5c = 7.5 (2b) :
Multiplicando (2a) por 5:
(20a + 60b + 5c) - (24a + 2b + 5c) = 7.5 - 0 -4a + 58b = 7.5 (4)
Subtraindo a equação (1):
-4a + 58b = 7.5 Rightarrow 4a - 58b = -7.5 (4a)
Simplificando a equação (4):
180a + 8b + 24c = 5 (3)
Vamos agora usar a equação (3):
c = 1.5 - 4a - 12b
Podemos expressar 180a + 8b + 24(1.5 - 4a - 12b) = 5 180a + 8b + 36 - 96a - 288b = 5 84a - 280b + 36 = 5 84a - 280b = -31 (5) da equação (2a):
4a - 58b = -7.5 (4a) 84a - 280b = -31 (5)
Substituindo 84a - 1218b = -157.5 (4b) na equação (3):
(84a - 1218b) - (84a - 280b) = -157.5 - (-31) -938b = -126.5 b = -126.5-938 approx 0.135
Agora, temos:
4a - 58 cdot 0.135 = -7.5 4a - 7.83 = -7.5 4a = 0.33 a approx 0.0825
Podemos resolver esse sistema. Multiplicando a equação (4a) por 21 para igualar os coeficientes de c = 1.5 - 4 cdot 0.0825 - 12 cdot 0.135 c = 1.5 - 0.33 - 1.62 c approx -0.45 :
Subtraindo a equação (5) da equação (4b):
[
(84a - 1218b) - (84a - 280b) = -157.5 - (-31) \
-938b = -126.5 \
b = \frac{-126.5}{-938} \approx 0.135
]
Agora, substituindo na equação (4a):
Por fim, substituindo e na equa��ão para :

Resposta

A parábola que melhor se ajusta aos pontos dados pelo método dos mínimos quadrados é:
y = 0,0825,x^2 + 0,135,x - 0,45
O desvio cometido, ou seja, a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os estimados, é aproximadamente 0,45.

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