Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a parábola mais próxima dos pontos para a função tabelada abaixo. Calcule o desvio cometido.
x
-3
-1
1
2
3
y
-1
0
1
1
-1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a parábola que melhor se ajusta aos pontos dados usando o método dos mínimos quadrados. Isso pertence ao conteúdo de ajuste de curvas e regressão polinomial. Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações que nos ajude a determinar os coeficientes da parábola que melhor se encaixa nos pontos fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados () e os valores estimados pela nossa parábola (). Ou seja, queremos minimizar:
Passo 3
Para minimizar , derivamos parcialmente em relação a , e e igualamos a zero, formando assim o sistema de equações normais:
Passo 4
Agora, vamos calcular todas as somas necessárias com os pontos dados:
Podemos resolver esse sistema. Multiplicando a equação (4a) por 21 para igualar os coeficientes de c = 1.5 - 4 cdot 0.0825 - 12 cdot 0.135 c = 1.5 - 0.33 - 1.62 c approx -0.45 :