Assumindo-se que os valores de f(x)=cos (x) possam ser avaliados apenas nos pontos
l|llllll x & 0,8 & 0,9 & 1,0 & 1,1 & 1,3 & 1,5,
estime o erro cometido ao utilizarmos o conjunto de pontos para gerar um polinômio interpolador sob 4 pontos para aproximar-se o valor de cos (1,05).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e sabemos seus valores em alguns pontos específicos: 0,8; 0,9; 1,0; 1,1; 1,3 e 1,5. Nosso objetivo é usar esses pontos para construir um polinômio interpolador de 4 pontos (ou seja, grau 3) e, com ele, aproximar o valor de . Além disso, queremos estimar qual é o erro dessa aproximação. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial e como calcular o erro associado a essa aproximação.

Passo 2

Primeiro, precisamos selecionar os 4 pontos mais próximos de l|llllll x & 0,8 & 0,9 & 1,0 & 1,1 & 1,3 & 1,5 para construir nosso polinômio interpolador. Observando os pontos disponíveis:
Os pontos mais próximos de 1,05 são 0,9; 1,0; 1,1 e 1,3. Usaremos esses para montar nosso polinômio de interpolação de grau 3.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o erro na interpolação polinomial. Quando usamos um polinômio de grau E(x) = f^(n)(xi)n! prodi=1^n (x - xi) para interpolar uma função em pontos, o erro na aproximação de por esse polinômio é dado pela fórmula:
Onde:
  • é a -ésima derivada de avaliada em algum ponto entre o mínimo e o máximo dos .
  • é o fatorial de .
  • são os pontos usados na interpolação.
  • é o ponto onde estamos estimando .
No nosso caso, como estamos usando 4 pontos, , e precisamos calcular a quarta derivada de .

Passo 4

Vamos calcular a quarta derivada de f'(x) = -sin(x) :
f''(x) = -cos(x)
f'''(x) = sin(x)
f''''(x) = cos(x)
Então, . O valor máximo de é 1, já que o cosseno nunca ultrapassa 1 em valor absoluto. Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto (x - xi) = (1,05 - 0,9)(1,05 - 1,0)(1,05 - 1,1)(1,05 - 1,3) para = (0,15)(0,05)(-0,05)(-0,25) e os pontos = 0,15 times 0,05 times 0,05 times 0,25 :
= 0,15 times 0,05 = 0,0075
0,0075 times 0,05 = 0,000375
0,000375 times 0,25 = 0,00009375

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do erro:
E(x) = M4! times |(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4)|
= 124 times 0,00009375
= 0,00009375 / 24
= 0,00000390625

Resposta

O erro estimado ao usar o polinômio interpolador de 4 pontos para aproximar é de aproximadamente .

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