Assumindo-se que os valores de
possam ser avaliados apenas nos pontos
estime o erro cometido ao utilizarmos o conjunto de pontos para gerar um polinômio interpolador sob 4 pontos para aproximar-se o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e sabemos seus valores em alguns pontos específicos: 0,8; 0,9; 1,0; 1,1; 1,3 e 1,5. Nosso objetivo é usar esses pontos para construir um polinômio interpolador de 4 pontos (ou seja, grau 3) e, com ele, aproximar o valor de
. Além disso, queremos estimar qual é o erro dessa aproximação. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial e como calcular o erro associado a essa aproximação.
Passo 2
Primeiro, precisamos selecionar os 4 pontos mais próximos de
para construir nosso polinômio interpolador. Observando os pontos disponíveis:
Os pontos mais próximos de 1,05 são 0,9; 1,0; 1,1 e 1,3. Usaremos esses para montar nosso polinômio de interpolação de grau 3.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o erro na interpolação polinomial. Quando usamos um polinômio de grau
para interpolar uma função em
pontos, o erro na aproximação de
por esse polinômio é dado pela fórmula:
Onde:
-
é a -ésima derivada de avaliada em algum ponto entre o mínimo e o máximo dos . -
é o fatorial de . -
são os pontos usados na interpolação. -
é o ponto onde estamos estimando .
No nosso caso, como estamos usando 4 pontos,
, e precisamos calcular a quarta derivada de
.
Passo 4
Vamos calcular a quarta derivada de
:
Então,
. O valor máximo de
é 1, já que o cosseno nunca ultrapassa 1 em valor absoluto. Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto
para
e os pontos
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula do erro:
Resposta
O erro estimado ao usar o polinômio interpolador de 4 pontos para aproximar
é de aproximadamente
.