Ache f(a), f(a+h) e f(a+h)-f(a)h, com h neq 0
f(x)=xx+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar três coisas: , e , onde . A função que estamos trabalhando é . Isso está relacionado ao estudo de funções e, mais especificamente, ao cálculo de derivadas utilizando a definição do quociente de diferença. Vamos precisar substituir os valores na função e simplificar as expressões para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar f(a) = aa + 1 . Isso significa substituir por na função :
Tranquilo, só trocamos por .

Passo 3

Agora, vamos calcular f(a+h) = a + h(a + h) + 1 = a + ha + h + 1 . Aqui, substituímos por na função:
Simplesmente substituímos e simplificamos a expressão no denominador.

Passo 4

O próximo passo é encontrar a diferença f(a+h) - f(a) = a + ha + h + 1 - aa + 1 . Vamos subtrair as duas expressões que encontramos:
Para subtrair frações, precisamos de um denominador comum.

Passo 5

Vamos encontrar o denominador comum para as duas frações. O denominador comum será f(a+h) - f(a) = (a + h)(a + 1) - a(a + h + 1)(a + h + 1)(a + 1) . Então, reescrevemos as frações com esse denominador:
Expandimos os numeradores para simplificar a expressão.

Passo 6

Vamos expandir e simplificar o numerador:
(a + h)(a + 1) = a^2 + a + a h + h
a(a + h + 1) = a^2 + a h + a
Subtraindo os dois:
(a^2 + a + a h + h) - (a^2 + a h + a) = h
Então, a diferença fica:
f(a+h) - f(a) = h(a + h + 1)(a + 1)

Passo 7

Por fim, vamos calcular o quociente f(a+h) - f(a)h = h(a + h + 1)(a + 1)h = 1(a + h + 1)(a + 1) . Já temos , então dividindo por :

Resposta

f(a) = aa + 1, f(a+h) = a + ha + h + 1, f(a+h) - f(a)h = 1(a + h + 1)(a + 1)

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