Ache f(a), f(a+h) e f(a+h)-f(a)h, com h neq 0
f(x)=2 xx-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar três coisas: , e , onde . A função que estamos lidando é . Esse exercício está relacionado ao estudo de funções e, mais especificamente, à diferença de quocientes, que é uma parte importante do cálculo, especialmente quando falamos sobre derivadas. Para resolver, vamos precisar substituir os valores na função e fazer as contas certinhas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar f(a) = 2aa - 1 . Isso significa que vamos substituir por na função .
Aqui, simplesmente substituímos por na expressão da função.

Passo 3

Agora, vamos calcular f(a+h) = 2(a + h)(a + h) - 1 . Para isso, substituímos (a + h) - 1 = a + h - 1 = a - 1 + h por f(a+h) = 2(a + h)a - 1 + h na função.
Vamos simplificar o denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a diferença f(a+h) - f(a) = 2(a + h)a - 1 + h - 2aa - 1 . Vamos subtrair as duas expressões que encontramos:
2(a + h)(a - 1)(a - 1)(a - 1 + h) - 2a(a - 1 + h)(a - 1)(a - 1 + h)
Para subtrair frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum aqui seria 2(a + h)(a - 1) - 2a(a - 1 + h)(a - 1)(a - 1 + h) .
Vamos reescrever cada fração com o denominador comum:
Agora que temos denominadores iguais, podemos subtrair os numeradores:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, distribuímos os termos:
2(a + h)(a - 1) = 2[a(a - 1) + h(a - 1)] = 2(a^2 - a + ha - h)
= 2a^2 - 2a + 2ha - 2h
E:
2a(a - 1 + h) = 2a(a - 1) + 2a h = 2a^2 - 2a + 2a h
Agora, subtraímos o segundo termo do primeiro:
(2a^2 - 2a + 2ha - 2h) - (2a^2 - 2a + 2a h) = 2a^2 - 2a + 2ha - 2h - 2a^2 + 2a - 2a h
Simplificando:
(2a^2 - 2a^2) + (-2a + 2a) + (2ha - 2a h) - 2h = 0 + 0 + 0 - 2h = -2h
Então, a diferença fica:
-2h(a - 1)(a - 1 + h)

Passo 6

Agora, vamos calcular a razão f(a+h)-f(a)h = -2h(a - 1)(a - 1 + h)h . Já temos a diferença = -2h(a - 1)(a - 1 + h) times 1h . Então, dividimos isso por = -2(a - 1)(a - 1 + h) :
Dividir por é o mesmo que multiplicar por :
Os se cancelam:

Resposta

Finalmente, temos:
f(a) = 2aa - 1
f(a+h) = 2(a + h)a - 1 + h
f(a+h)-f(a)h = -2(a - 1)(a - 1 + h)

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