Uma fábrica de componentes eletrônicos está tentando otimizar sua produção de resistores, objetivando maximizar o lucro.
A produção de resistores por hora em uma determinada máquina, ao longo de um turno de 8 horas, é modelada pela função
, onde
é o número de resistores produzidos por hora e,
é o tempo (horas) desde o início do turno (com
.
Dessa forma:
Determine o intervalo de tempo, durante o qual a produção está aumentando e diminuindo.
A produção de resistores por hora em uma determinada máquina, ao longo de um turno de 8 horas, é modelada pela função
Dessa forma:
Determine o intervalo de tempo, durante o qual a produção está aumentando e diminuindo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma fábrica que quer otimizar a produção de resistores para maximizar o lucro. A produção por hora está descrita pela função
, onde
é o número de resistores produzidos por hora e
é o tempo em horas, de 0 a 8 horas. Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos o número de resistores produzidos está aumentando e diminuindo. Para isso, vamos usar conceitos de Derivadas em Cálculo, que nos ajudam a entender como uma função está se comportando em termos de aumento ou diminuição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos diz a taxa de variação da produção em relação ao tempo, ou seja, se a produção está aumentando ou diminuindo a cada instante.
A função é:
A derivada de
em relação a
é calculada derivando cada termo separadamente:
Então,
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos analisar quando ela é positiva e quando é negativa.
- Quando
: a produção está aumentando. - Quando
: a produção está diminuindo.
Vamos resolver as inequações para encontrar esses intervalos.
Passo 4
Primeiro, resolvemos
:
Dividindo ambos os lados por -4 (lembre-se que ao dividir por um número negativo, a desigualdade inverte):
Então, para
horas, a produção está aumentando.
Passo 5
Agora, resolvemos
:
Dividindo ambos os lados por -4:
Então, para
horas, a produção está diminuindo.
Resposta
A produção de resistores está aumentando no intervalo de tempo de 0 a 5 horas e diminuindo de 5 a 8 horas.
Exercícios relacionados
Ache
e
Ache
e
Construa o gráfico de cada função abaixo:
Uma fábrica de componentes eletrônicos está tentando otimizar sua produção de resistores, objetivando maximizar o lucro.
A produção de resistores por hora em uma determinada máquina, ao longo de um turno de 8 horas, é modelada pela função , onde
é o número de resistores produzidos por hora e,
é o tempo (horas) desde o início do turno (com
.
Dessa forma:
Determine os horários em que a produção é máxima e mínima, durante o turno de 8 horas.
A produção de resistores por hora em uma determinada máquina, ao longo de um turno de 8 horas, é modelada pela função
Dessa forma:
Determine os horários em que a produção é máxima e mínima, durante o turno de 8 horas.