Uma fábrica de componentes eletrônicos está tentando otimizar sua produção de resistores, objetivando maximizar o lucro.
A produção de resistores por hora em uma determinada máquina, ao longo de um turno de 8 horas, é modelada pela função P(t)=50+20 t-2 t^2, onde P(t) é o número de resistores produzidos por hora e, t é o tempo (horas) desde o início do turno (com 0 <= t <= 8).
Dessa forma:
Determine o intervalo de tempo, durante o qual a produção está aumentando e diminuindo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma fábrica que quer otimizar a produção de resistores para maximizar o lucro. A produção por hora está descrita pela função , onde é o número de resistores produzidos por hora e é o tempo em horas, de 0 a 8 horas. Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos o número de resistores produzidos está aumentando e diminuindo. Para isso, vamos usar conceitos de Derivadas em Cálculo, que nos ajudam a entender como uma função está se comportando em termos de aumento ou diminuição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função P(t) = 50 + 20t - 2t^2 . A derivada nos diz a taxa de variação da produção em relação ao tempo, ou seja, se a produção está aumentando ou diminuindo a cada instante.
A função é:
P'(t) = ddt(50) + ddt(20t) - ddt(2t^2)
A derivada de P'(t) = 0 + 20 - 4t em relação a P'(t) = 20 - 4t é calculada derivando cada termo separadamente:
Então,

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos analisar quando ela é positiva e quando é negativa.
  • Quando : a produção está aumentando.
  • Quando : a produção está diminuindo.
Vamos resolver as inequações para encontrar esses intervalos.

Passo 4

Primeiro, resolvemos 20 - 4t > 0 :
-4t > -20
t < 5
Dividindo ambos os lados por -4 (lembre-se que ao dividir por um número negativo, a desigualdade inverte):
Então, para horas, a produção está aumentando.

Passo 5

Agora, resolvemos 20 - 4t < 0 :
-4t < -20
t > 5
Dividindo ambos os lados por -4:
Então, para horas, a produção está diminuindo.

Resposta

A produção de resistores está aumentando no intervalo de tempo de 0 a 5 horas e diminuindo de 5 a 8 horas.

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