Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o polinômio de interpolação que passa pelos pontos , , e usando a Forma de Lagrange. Isso faz parte do conteúdo de interpolação polinomial, especificamente usando os polinômios de Lagrange. Para resolver, vamos precisar construir os polinômios base de Lagrange para cada ponto e depois somá-los adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Forma de Lagrange para interpolar pontos. No nosso caso, temos 4 pontos, então , e o polinômio de interpolação é dado por:
onde cada é o polinômio base de Lagrange correspondente ao ponto .
Passo 3
Agora, vamos construir cada polinômio base . A fórmula para é:
Vamos calcular , , e individualmente.
Passo 4
Calculando para o ponto :
Substituindo os valores , , , :
Passo 5
Calculando para o ponto :
Substituindo os valores:
Passo 6
Calculando para o ponto :
Substituindo os valores:
Passo 7
Calculando para o ponto :
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora que temos todos os polinômios base , vamos montar o polinômio de interpolação :
Substituindo os valores de :
Passo 9
Vamos simplificar cada termo:
Simplificando:
Passo 10
Agora, podemos expandir e simplificar os termos para obter a forma final do polinômio. No entanto, como a simplificação completa pode ser trabalhosa, a expressão atual já representa o polinômio de interpolação desejado.