Ache P3(x) interpolando os pontos:
|c|c|c|c|c| hline$x$ & -2 & -1 & 0 & 3 hline$f(x)$ & 7 & 3 & -2 & 1 hline -2 -1 0 3
7 3 -2 1
Pela Forma de Lagrange; (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o polinômio de interpolação que passa pelos pontos , , e usando a Forma de Lagrange. Isso faz parte do conteúdo de interpolação polinomial, especificamente usando os polinômios de Lagrange. Para resolver, vamos precisar construir os polinômios base de Lagrange para cada ponto e depois somá-los adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Forma de Lagrange para interpolar P3(x) = sumi=0^3 f(xi) cdot Li(x) pontos. No nosso caso, temos 4 pontos, então , e o polinômio de interpolação é dado por:
onde cada é o polinômio base de Lagrange correspondente ao ponto .

Passo 3

Agora, vamos construir cada polinômio base Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^3 x - xjxi - xj . A fórmula para é:
Vamos calcular , , e individualmente.

Passo 4

Calculando L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3) para o ponto L0(x) = (x - (-1))(x - 0)(x - 3)(-2 - (-1))(-2 - 0)(-2 - 3) = (x + 1)x(x - 3)(-1)(-2)(-5) = (x + 1)x(x - 3)-10 :
Substituindo os valores , , , :

Passo 5

Calculando L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x - x3)(x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3) para o ponto L1(x) = (x - (-2))(x - 0)(x - 3)(-1 - (-2))(-1 - 0)((-1) - 3) = (x + 2)x(x - 3)(1)(-1)(-4) = (x + 2)x(x - 3)4 :
Substituindo os valores:

Passo 6

Calculando L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x3)(x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3) para o ponto L2(x) = (x - (-2))(x - (-1))(x - 3)(0 - (-2))(0 - (-1))(0 - 3) = (x + 2)(x + 1)(x - 3)(2)(1)(-3) = (x + 2)(x + 1)(x - 3)-6 :
Substituindo os valores:

Passo 7

Calculando L3(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x2)(x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2) para o ponto L3(x) = (x - (-2))(x - (-1))(x - 0)(3 - (-2))(3 - (-1))(3 - 0) = (x + 2)(x + 1)x(5)(4)(3) = (x + 2)(x + 1)x60 :
Substituindo os valores:

Passo 8

Agora que temos todos os polinômios base P3(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) + f(x3)L3(x) , vamos montar o polinômio de interpolação P3(x) = 7 cdot (x + 1)x(x - 3)-10 + 3 cdot (x + 2)x(x - 3)4 + (-2) cdot (x + 2)(x + 1)(x - 3)-6 + 1 cdot (x + 2)(x + 1)x60 :
Substituindo os valores de :

Passo 9

Vamos simplificar cada termo:
P3(x) = 7(x + 1)x(x - 3)-10 + 3(x + 2)x(x - 3)4 + 2(x + 2)(x + 1)(x - 3)6 + (x + 2)(x + 1)x60
Simplificando:
P3(x) = -710(x + 1)x(x - 3) + 34(x + 2)x(x - 3) + 13(x + 2)(x + 1)(x - 3) + 160(x + 2)(x + 1)x

Passo 10

Agora, podemos expandir e simplificar os termos para obter a forma final do polinômio. No entanto, como a simplificação completa pode ser trabalhosa, a expressão atual já representa o polinômio de interpolação desejado.

Resposta

P3(x) = -710(x + 1)x(x - 3) + 34(x + 2)x(x - 3) + 13(x + 2)(x + 1)(x - 3) + 160(x + 2)(x + 1)x

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