De̊ o valor da integral definida:
I=integral2^3(2 x^3+x^2-1) d x
Pelo método de Simpson com n=4 e n=6; (1,0 ponto)

Passo 1

Vamos resolver a integral definida
I = integral2^3(2x^3 + x^2 - 1) dx
utilizando o método de Simpson com e . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais definidas através de métodos numéricos, especificamente a Regra de Simpson. Para isso, precisamos entender a fórmula da Regra de Simpson e saber como aplicá-la com diferentes números de subdivisões .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Regra de Simpson. A Regra de Simpson é um método numérico usado para aproximar o valor de uma integral definida. Ela é especialmente precisa para funções que podem ser bem aproximadas por polinômios de segundo grau em pequenos intervalos. A fórmula da Regra de Simpson composta é dada por:
integrala^b f(x) dx approx Deí
onde:
  • é o número de subintervalos (deve ser par)
  • para

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de Simpson com De.
  1. Determinar x0 = 2, x1 = 2 + 0,25 = 2,25, x2 = 2 + 2(0,25) = 2,50 :
x3 = 2 + 3(0,25) = 2,75, x4 = 2 + 4(0,25) = 3
  1. Calcular os pontos :

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores da função f(x0) = f(2) = 2(2)^3 + (2)^2 - 1 = 16 + 4 - 1 = 19 em cada ponto f(x1) = f(2,25) = 2(2,25)^3 + (2,25)^2 - 1 = 2(11,390625) + 5,0625 - 1 = 22,78125 + 5,0625 - 1 = 26,84375 :
f(x2) = f(2,50) = 2(2,50)^3 + (2,50)^2 - 1 = 2(15,625) + 6,25 - 1 = 31,25 + 6,25 - 1 = 36,5
f(x3) = f(2,75) = 2(2,75)^3 + (2,75)^2 - 1 = 2(20,796875) + 7,5625 - 1 = 41,59375 + 7,5625 - 1 = 48,15625
f(x4) = f(3) = 2(3)^3 + (3)^2 - 1 = 54 + 9 - 1 = 62

Passo 5

Aplicamos agora a fórmula da Regra de Simpson com I approx 0,253 [ f(x0) + 4(f(x1) + f(x3)) + 2f(x2) + f(x4) ] :
I approx 0,253 [ 19 + 4(26,84375 + 48,15625) + 2(36,5) + 62 ]
Substituindo os valores calculados:
I approx 0,253 [ 19 + 4(75) + 73 + 62 ]
I approx 0,253 [ 19 + 300 + 73 + 62 ] = 0,253 times 454 = 0,25 times 4543 = 113,53 approx 37,83

Passo 6

Agora, vamos repetir o processo com De.
  1. Determinar x0 = 2, x1 = 2 + 0,1667 = 2,1667 :
x2 = 2 + 2(0,1667) = 2,3334, x3 = 2 + 3(0,1667) = 2,5
  1. Calcular os pontos x4 = 2 + 4(0,1667) = 2,6668, x5 = 2 + 5(0,1667) = 2,8335 :
x6 = 3
f(x0) = f(2) = 19
f(x1) = f(2,1667) approx 2(2,1667)^3 + (2,1667)^2 - 1 approx 2(10,1601) + 4,6945 - 1 approx 20,3202 + 4,6945 - 1 = 24,0147
f(x2) = f(2,3334) approx 2(2,3334)^3 + (2,3334)^2 - 1 approx 2(12,6526) + 5,4445 - 1 = 25,3052 + 5,4445 - 1 = 29,7497
  1. Calcular os valores de f(x3) = f(2,5) = 2(2,5)^3 + (2,5)^2 - 1 = 2(15,625) + 6,25 - 1 = 31,25 + 6,25 - 1 = 36,5 :
f(x4) = f(2,6668) approx 2(2,6668)^3 + (2,6668)^2 - 1 approx 2(18,9636) + 7,1116 - 1 = 37,9272 + 7,1116 - 1 = 44,0388
f(x5) = f(2,8335) approx 2(2,8335)^3 + (2,8335)^2 - 1 approx 2(22,784) + 8,0275 - 1 = 45,568 + 8,0275 - 1 = 52,5955
f(x6) = f(3) = 62
I approx 0,16673 [ f(x0) + 4(f(x1) + f(x3) + f(x5)) + 2(f(x2) + f(x4)) + f(x6) ]
I approx 0,16673 [ 19 + 4(24,0147 + 36,5 + 52,5955) + 2(29,7497 + 44,0388) + 62 ]
I approx 0,16673 [ 19 + 4(112,1102) + 2(73,7885) + 62 ]
I approx 0,16673 [ 19 + 448,4408 + 147,577 + 62 ] = 0,16673 times 677,0178 approx 113,00293 approx 37,668
  1. Aplicar a f��rmula da Regra de Simpson com :
Substituindo os valores:

Resposta

Aproximação da integral utilizando o método de Simpson:
  • Com :
  • Com :

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