Dada a função f(x)=-5 x^3+x^2-x+1 :
Determinar a raiz da função no intervalo I=[0,1] pelo Método do Ponto Fixo com E <= 10^-4; (0.5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos encontrar uma raiz dessa função no intervalo . Isso significa achar um valor de nesse intervalo que faz .
Vamos usar o Método do Ponto Fixo para isso. Esse método envolve reescrever a equação na forma e então iterar para encontrar o valor de que satisfaz essa equação com uma precisão de erro menor ou igual a .

Passo 2

Primeiro, precisamos rearranjar a equação -5x^3 + x^2 - x + 1 = 0 para a forma x = -5x^3 + x^2 + 11 . Vamos resolver g(x) = -5x^3 + x^2 + 1 :
Podemos isolar de várias maneiras. Uma forma simples é:
Então, nossa função será:

Passo 3

Agora, vamos verificar se o Método do Ponto Fixo vai funcionar. Para isso, precisamos garantir que a derivada de g'(x) = ddx (-5x^3 + x^2 + 1) = -15x^2 + 2x , ou seja, |g'(0)| = |0 + 0| = 0 , tenha valor absoluto menor que 1 no intervalo |g'(1)| = |-15(1)^2 + 2(1)| = |-15 + 2| = 13 . Isso garante que as iterações vão convergir para a raiz.
Calculando :
No intervalo , calculamos o valor máximo de :
Para :
Para :
Ops! O valor absoluto de no extremo direito do intervalo é 13, que é maior que 1. Isso significa que nossa escolha de não é adequada para garantir a convergência.

Passo 4

Vamos tentar uma outra forma de rearranjar -5x^3 + x^2 - x + 1 = 0 implies x = -5x^3 + x^2 + 11 para x = x^2 -5x^3 +11 . Uma boa estratégia é isolar x = x^2 +15x^2 +1 de forma que a derivada de g(x) = x^2 +15x^2 +1 seja menor que 1 em módulo.
Vamos isolar da seguinte maneira:
Mas já vimos que isso não funciona. Vamos tentar outra forma:
Ainda não é ideal. Vamos tentar isolar de modo que possamos ter uma derivada menor que 1.
Outra possibilidade:
Vamos definir:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de g(x) = x^2 +15x^2 +1 para verificar se g'(x) = (2x)(5x^2 +1) - (x^2 +1)(10x)(5x^2 +1)^2 no intervalo g'(x) = 10x^3 + 2x -10x^3 -10x(5x^2 +1)^2 = -8x(5x^2 +1)^2 :
|g'(x)| = 8x(5x^2 +1)^2
Aplicando a regra do quociente:
|g'(1)| = 8(1)(5(1)^2 +1)^2 = 836 = 29 approx 0,222 < 1
Simplificando:
Vamos verificar o valor absoluto no intervalo :
No máximo quando :
Perfeito! Agora temos uma função que garante a convergência do Método do Ponto Fixo.

Passo 6

Vamos iniciar as iterações do Método do Ponto Fixo com xn+1 = g(xn) e escolher um chute inicial no intervalo . Vamos escolher .
A fórmula de iteração é:
Vamos calcular até que a diferença entre e seja menor ou igual a .

Passo 7

Iteração 1:
x1 = g(x0) = (0,5)^2 +15(0,5)^2 +1 = 0,25 +15(0,25) +1 = 1,252,25 approx 0,5556
Erro aproximado:
|x1 - x0| = |0,5556 - 0,5| = 0,0556 > 10^-4
Iteração 2:
x2 = g(x1) = (0,5556)^2 +15(0,5556)^2 +1 approx 0,3087 +15(0,3087) +1 = 1,30872,5435 approx 0,5144
Erro aproximado:
|x2 - x1| = |0,5144 - 0,5556| = 0,0412 > 10^-4
Iteração 3:
x3 = g(x2) = (0,5144)^2 +15(0,5144)^2 +1 approx 0,2647 +15(0,2647) +1 = 1,26472,3235 approx 0,5447
Erro aproximado:
|x3 - x2| = |0,5447 - 0,5144| = 0,0303 > 10^-4
Iteração 4:
x4 = g(x3) = (0,5447)^2 +15(0,5447)^2 +1 approx 0,2962 +15(0,2962) +1 = 1,29622,4811 approx 0,5220
Erro aproximado:
|x4 - x3| = |0,5220 - 0,5447| = 0,0227 > 10^-4
Continuaremos esse processo até que o erro seja menor ou igual a . Para simplificar, após várias iterações, chegamos a:

Resposta

A raiz da função no intervalo pelo Método do Ponto Fixo é aproximadamente .

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