Dada a função
:
Determinar a raiz da função no intervalo
pelo Método do Ponto Fixo com
; (0.5 ponto)
Determinar a raiz da função no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos encontrar uma raiz dessa função no intervalo
. Isso significa achar um valor de
nesse intervalo que faz
.
Vamos usar o Método do Ponto Fixo para isso. Esse método envolve reescrever a equação
na forma
e então iterar para encontrar o valor de
que satisfaz essa equação com uma precisão de erro menor ou igual a
.
Passo 2
Primeiro, precisamos rearranjar a equação
para a forma
. Vamos resolver
:
Podemos isolar
de várias maneiras. Uma forma simples é:
Então, nossa função
será:
Passo 3
Agora, vamos verificar se o Método do Ponto Fixo vai funcionar. Para isso, precisamos garantir que a derivada de
, ou seja,
, tenha valor absoluto menor que 1 no intervalo
. Isso garante que as iterações vão convergir para a raiz.
Calculando
:
No intervalo
, calculamos o valor máximo de
:
Para
:
Para
:
Ops! O valor absoluto de
no extremo direito do intervalo é 13, que é maior que 1. Isso significa que nossa escolha de
não é adequada para garantir a convergência.
Passo 4
Vamos tentar uma outra forma de rearranjar
para
. Uma boa estratégia é isolar
de forma que a derivada de
seja menor que 1 em módulo.
Vamos isolar
da seguinte maneira:
Mas já vimos que isso não funciona. Vamos tentar outra forma:
Ainda não é ideal. Vamos tentar isolar
de modo que possamos ter uma derivada menor que 1.
Outra possibilidade:
Vamos definir:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de
para verificar se
no intervalo
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Vamos verificar o valor absoluto no intervalo
:
No máximo quando
:
Perfeito! Agora temos uma função
que garante a convergência do Método do Ponto Fixo.
Passo 6
Vamos iniciar as iterações do Método do Ponto Fixo com
e escolher um chute inicial
no intervalo
. Vamos escolher
.
A fórmula de iteração é:
Vamos calcular até que a diferença entre
e
seja menor ou igual a
.
Passo 7
Iteração 1:
Erro aproximado:
Iteração 2:
Erro aproximado:
Iteração 3:
Erro aproximado:
Iteração 4:
Erro aproximado:
Continuaremos esse processo até que o erro seja menor ou igual a
. Para simplificar, após várias iterações, chegamos a:
Resposta
A raiz da função
no intervalo
pelo Método do Ponto Fixo é aproximadamente
.